课时作业18 不等式的实际应用时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．某工厂第一年产量为A ，第二年产量的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 2 【答案】 B【解析】 由题设有A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2，即x ＝(1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b 2. 2．设产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N ＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不少于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 【答案】 C【解析】 设利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000，令f (x )≥0，则x ≥150，或x ≤－200(舍去)，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次．一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．【答案】 20【解析】 每年购买次数为400x 次，∴总费用为400x ·4＋4x ≥2 6 400＝160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时等号成立．故x＝20.4．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为保证本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么围？【分析】 根据题意，分别求出出厂价和投入成本、年销售量，然后代入利润的表达式求出利润函数，最后构造不等式求解出满足要求时，投入成本增加的比例x 的围．【解析】 (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)．整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y －(1.2－1)×1 000>00<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解不等式组，得0<x <13. 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <0.33.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过( )A ．70平方米B ．80平方米C ．90平方米D ．100平方米【答案】 B【解析】 根据使用面积明家应该缴纳的费用为60×4＝240元． 设明家的建筑面积为x 平方米，则根据题意得3x <240 ，∴x <80，∴建筑面积不超过80平方米时，满足题意．2．一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，该流水线生产的摩托车数量x 辆与创造的价值y 元之间关系为y ＝－4x 2＋440x ，那么它在一个星期大约生产________辆摩托车才能创收12 000元以上( )A ．(50,60)B ．(100,120)C ．(0,50)D ．(60,120)【答案】 A 【解析】 由题意－4x 2＋440x >12 000，∴x 2－110x ＋3 000<0，即x (110－x )>3 000.把选项中的端点值代入验证得只有A 正确．3．制作一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材量少)是( )A ．4.6mB ．4.8mC ．5mD ．5.2m 【答案】 C【解析】 设三角形两直角边长分别为a m ，b m ，则ab ＝2，周长L ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)·ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，即L ≥2＋22≈4.828，故应选C.4．若a 、b 、m ∈R ＋，a <b ，将a g 食盐加入到(b －a )g 水中，所得溶液的盐的质量分数为p 1，将(a ＋m )g 食盐加入到(b －a )g 水中，所得溶液的盐的质量分数为p 2，则( )A ．p 1<p 2B ．p 1＝p 2C ．p 1>p 2D ．不确定【答案】 A【解析】 p 1＝a b ，p 2＝a ＋m b ＋m，作差比较知p 1<p 2.5．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值围是( )A ．[1,3]B ．[3,5]C ．[5,7]D ．[7,9] 【答案】 B【解析】 由题意列不等式24 000×(20－52t )×t %≥9 000，即24100(20－52t )t ≥9 ，所以t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，故当耕地占用税的税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9 000万元．6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5公里B ．4公里C ．3公里D ．2公里【答案】 A【解析】 设仓库与车站距离为d ，则y 1＝k 1d ，y 2＝k 2d ，由题意知：2＝k 110，8＝10k 2，∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20d ＋0.8d ≥216＝8，当且仅当20d ＝0.8d 即d ＝5时，等号成立．∴选A.7．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，劳动了( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年【答案】 C【解析】 设y ＝a (x －6)2＋11，由条件知7＝a (4－6)2＋11，∴a ＝－1.∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴每辆客车营运的年平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x )＋12≤－225＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时等号成立，故选C.8．甲、乙两人同时从A 地到B 地，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到B 地B ．乙先到B 地C ．两人同时到B 地D ．谁先到B 地无法确定【答案】 B【解析】 设从A 地到B 地的路程为S ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2且v 1≠v 2，∴t 甲＝S 2v 1＋S 2v 2＝S (v 1＋v 2)2v 1v 2， t 乙＝2S v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝(v 1＋v 2)24v 1v 2≥4v 1v 24v 1v 2＝1， 当且仅当v 1＝v 2时取等号．又∵v 1≠v 2，∴t 甲>t 乙，故乙先到，故选B.二、填空题(每小题10分，共20分)9．现有含盐7%的食盐水200 g ，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水x g ，则x 的取值围是________．【答案】 (100,400)【解析】 由条件得：5%<200×7%＋4%x 200＋x<6%，即5<200×7＋4x 200＋x<6. 解得：100<x <400.所以x 的取值围是(100,400)．10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．【答案】 80【解析】 由题意得平均每件产品生产准备费用为800x 元．仓储费用为x 8元，得费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20. 当800x ＝x 8，即x ＝80时等号成立．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投入成本增加的比例为x (0<x <1)．现在有甲、乙两种方案可供选择，通过市场调查后预测，若选用甲方案，则年利润y 万元与投入成本增加的比例x 的函数关系式为y ＝f (x )＝－20x 2＋60x ＋200(0<x <1)；若选用乙方案，则y 与x 的函数关系式为y ＝g (x )＝－30x 2＋65x ＋200(0<x <1)．试根据投入成本增加的比例x ，讨论如何选择最合适的方案．【分析】 利用作差比较法比较f (x )与g (x )的大小．【解析】 f (x )－g (x )＝(－20x 2＋60x ＋200)－(－30x 2＋65x ＋200)＝10x 2－5x .由10x 2－5x >0，解得x >12，或x <0(舍去)． 所以当投入成本增加的比例x ∈(0，12)时，选择乙方案；当投入成本增加的比例x ∈(12，1)时，选择甲方案；当投入成本增加的比例x ＝12时，选择甲方案或乙方案都可以．【规律方法】 解决实际问题时要注意未知数的取值围，如本题中x ∈(0,1)．12．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而卡车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．【解析】 (1)行车所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]，所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立，所以当x＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．。