2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是．2．（5分）若复数z＝1+i，则＝．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．5．（5分）函数f（x）＝+的定义域是6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为7．（5分）已知函数y＝f（x）+x是偶函数，且f（3）＝1，则f（﹣3）＝．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为．9．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝．10．（5分）若直线l1：x cosθ+2y＝0与直线l2：3x+y sinθ+3＝0垂直，则sin2θ＝．11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P﹣ABCD侧面积为．12．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣2x+m＝0与圆C2：（x+3）2+（y+3）2＝36内切，且圆C1的半径小于6，点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8＝0距离的最大值为．13．（5分）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．14．（5分）已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cos B＝b cos C．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F．设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T．（1）试将T表示为θ的函数T（θ），并写出定义域；（2）当θ满足什么条件时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△ABO的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|•|BM|为定值．19．（16分）己知数列{a n}中，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，且a n+．（1）求S2，S3，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，若2﹣k≥0对任意的正整数n 都成立，求实数k的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx+2ax（a∈R），g（x）＝x2+1﹣2f（x）（1）当a＝﹣1时，①求函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；②比较f（m）与的大小；（2）当a＞0时，若对∀x∈（1，+∞）时，g（x）≥0，且g（x）有唯一零点，证明：．【选做题】（在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l过点A（），B（3，0），且直线l与曲线C：ρ＝a cosθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且．（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，k OA•k OB＝﹣2且△OAB的面积为16，求l的方程．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为a n，数列{a n}的前n 和为S n．记S n是3的倍数的概率为P（n）．（1）求P（1），P（2）；（2）求P（n）．2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是．【解答】解：因为A⊇B∴B≠∅，∴，解得故答案为：2．（5分）若复数z＝1+i，则＝﹣1．【解答】解：∵复数z＝1+i，∴，∴＝＝﹣1．故答案为﹣1．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为35．【解答】解：理科生人数占的比例为＝，则应抽取的理科生人数为为50×＝35人，故答案为：35．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是20．【解答】解：赋值a＝5，S＝1，判断a＝5≥4成立，执行S＝1×5＝5，a＝a﹣1＝5﹣1＝4，判断a＝4≥4成立，执行S＝5×4＝20，a＝a﹣1＝4﹣1＝3，判断a＝3≥4不成立，算法结束，输出S＝20．故答案为：20．5．（5分）函数f（x）＝+的定义域是{x|x≥1且x≠5}【解答】解：要使函数有意义，则得，即x≥1且x≠5，即函数的定义域为{x|x≥1且x≠5}，故答案为：{x|x≥1且x≠5}6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为【解答】解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，基本事件总数n＝3×3＝9，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数m＝2×2＝4，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为p＝＝．故答案为：．7．（5分）已知函数y＝f（x）+x是偶函数，且f（3）＝1，则f（﹣3）＝7．【解答】解：∵函数y＝f（x）+x是偶函数，∴f（﹣x）﹣x＝f（x）+x，即f（﹣x）＝f（x）+2x，∵f（3）＝1，∴f（﹣3）＝f（3）+2×3＝1+6＝7，故答案为：7．8．（5分）若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为6．【解答】解：由双曲线，得a2＝5，b2＝4，则，则双曲线的左焦点为（﹣3，0），抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则，p＝6．故答案为：6．9．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝49．【解答】解：∵a2+a6＝a1+a7∴故答案是4910．（5分）若直线l1：x cosθ+2y＝0与直线l2：3x+y sinθ+3＝0垂直，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵直线l1：x cosθ+2y＝0与直线l2：3x+y sinθ+3＝0垂直，∴3cosθ+2sinθ＝0，∴cosθ＝﹣，∴sin2θ+cos2θ＝＝，解得sinθ＝，cosθ＝﹣或sinθ＝﹣，cosθ＝，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣2×＝﹣．故答案为：﹣．11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥P﹣ABCD侧面积为．【解答】解：∵圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，∴设底面半径为r，则高为2r，母线长l＝＝r，∴圆锥的侧面积S＝πrl＝＝π，解得r＝，l＝＝，∵正方形ABCD内接于底面圆O，∴AB＝，∴四棱锥P﹣ABCD侧面积为：S＝4S△P AB＝4×＝2××＝6r2＝6×＝．故答案为：．12．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣2x+m＝0与圆C2：（x+3）2+（y+3）2＝36内切，且圆C1的半径小于6，点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8＝0距离的最大值为2．【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2﹣2x+m＝0化为标准方程为（x﹣1）2+y2＝1﹣m，其圆心为（1，0），半径r＝，|C1C2|＝＝5，又由圆C1与圆C2内切，且圆C1的半径小于6，则有6﹣＝5，解可得m＝0，圆心C1（1，0）到5x+12y+8＝0的距离d＝＝1，点P是圆C1上的一个动点，则点P到直线l：5x+12y+8＝0距离的最大值为1+1＝2；故答案为：2．13．（5分）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【解答】解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．14．（5分）已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【解答】解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cos B＝b cos C．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理，得∴（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C．…（2分）∴2sin A cos B＝sin C cos B+sin B cos C＝sin（B+C）＝sin A，…（4分）∵A∈（0，π），∴sin A≠0．∴cos B＝．又∵0＜B＜π，∴B＝．…（6分）（Ⅱ）由正弦定理，得b＝＝．…（8分）∵A＝，B＝，∴C＝，∴sin C＝sin ＝sin（+）＝sin cos +cos sin ＝．…（11分）∴S＝＝＝．…（13分）16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，点M为棱A1B1的中点．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面C1CM⊥平面A1B1C．【解答】证明：（1）∵AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴四边形AA1B1B是平行四边形，∴AB∥A1B1，又AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C．（2）由（1）证明同理可知AC＝A1C1，BC＝B1C1，∵AB＝BC，∴A1B1＝B1C1，∵M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，∵CC1⊥平面A1B1C1，B1A1⊂平面A1B1C1，∴CC1⊥B1A1，又CC1∩C1M＝C1，∴B1A1⊥平面C1CM，又B1A1⊂平面A1B1C1，∴平面C1CM⊥平面A1B1C．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB＝1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F．设∠AOE＝θ弧度，小球从A到F所需时间为T．（1）试将T表示为θ的函数T（θ），并写出定义域；（2）当θ满足什么条件时，时间T最短．【解答】解：（1）连接CO并延长交半圆于M，则∠AOM＝∠COD＝，故θ≥，同理可得θ≤，∴θ∈[，]．过O作OG⊥BC于G，则OG＝1，∠GOF＝|﹣θ|，∴OF＝＝，又＝θ，∴T（θ）＝++，θ∈[，]．（2）T′（θ）＝﹣＝＝，令T′（θ）＝0可得﹣6cos2θ﹣5cosθ+6＝0，解得cosθ＝或cosθ＝﹣（舍）．设cosθ0＝，θ0∈[，]，则当≤θ＜θ0时，T′（θ）＜0，当θ0＜θ≤时，T′（θ）＞0，∴当θ＝θ0，T（θ）取得最小值．故cosθ＝时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△ABO的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|•|BM|为定值．【解答】解：（1）由题意可知，，，a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，所以椭圆方程为；（2）证明：方法一：由（1）知，A（2，0），，由题意可得，因为P（x0，y0），则，直线P A的方程为y＝（x﹣2）令x＝0，得y M＝﹣．从而|BM|＝|﹣y M|＝|+|．直线PB的方程为y＝x+．令y＝0，得x N＝﹣．从而|AN|＝|2﹣x N|＝|2+|．∴|AN|•|BM|＝|2+|•|+|＝＝＝．所以|AN|•|BM|为定值．方法二：如图所示：设P的坐标为（2cosθ，sinθ），由A（2，0），B（0，），则直线AP的方程为y＝（x﹣2），令x＝0时，则y＝，即M（0，），所以|BM|＝＝，同理可得N（，0），所以|AN|＝＝，所以|AN|•|BM|＝＝＝，所以|AN|•|BM|为定值．19．（16分）己知数列{a n}中，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，且a n+．（1）求S2，S3，并求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，若2﹣k≥0对任意的正整数n 都成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）数列{a n}中，a n＞0，S n是数列{a n}的前n项和，且a n+，可得2S1＝2a1＝a1+，解得a1＝；由2（+a2）＝a2+，解得a2＝2﹣，可得S2＝2；由2（2+a3）＝a3+，解得a3＝﹣2，即有S3＝，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得S n﹣S n﹣1+＝2S n，化为（S n﹣S n﹣1）（S n+S n﹣1）＝2，即S n2﹣S n﹣12＝2，则S n2＝2+2（n﹣1）＝2n，由a n＞0，可得S n＝，由a n+＝2，可得a n＝（﹣）；（2）b n＝＝＝（﹣），可得T n＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（+﹣1﹣），由T n+1﹣T n＝（﹣）＞0，可得T n在n∈N*递增，T n的最小值为T1＝，2﹣k≥0对任意的正整数n都成立，可得k≤2T 1＝﹣1，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx+2ax（a∈R），g（x）＝x2+1﹣2f（x）（1）当a＝﹣1时，①求函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；②比较f（m）与的大小；（2）当a＞0时，若对∀x∈（1，+∞）时，g（x）≥0，且g（x）有唯一零点，证明：．【解答】解：（1）①当a＝﹣1时，f（x）＝lnx﹣2x，f′（x）＝，f′（1）＝﹣1，又A（1，2），∴切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），即x+y+1＝0；②令h（m）＝f（m）﹣f（）＝lnm﹣2m﹣（﹣）＝2lnm﹣2m+，则h′（m）＝＜0，∴h（m）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）＝0，∴当0＜m＜1时，h（m）＞0，即f（m）＞f（）；当m＝1时，h（m）＝0，即f（m）＝f（）；当m＞1时，h（m）＜0，即f（m）＜f（）．证明：（2）由题意，x2+1﹣2lnx﹣4ax≥0，而g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝a．∵a＞0，∴＞1，∴g′（x）在（1，+∞）上有唯一零点．当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．∴g（x）min＝g（x0）．∵g（x）≥0在（1，+∞）恒成立，且g（x）＝0有唯一解，∴，即，消去a，得，即．令，则，∵h′（x0）＜0在（1，+∞）上恒成立，∴h（x0）在（1，+∞）上单调递减，又h（1）＝2＞0，h（2）＝﹣2ln2﹣1＜0，∴1＜x0＜2．∵a＝在（1，2）上单调递增，∴a＜．【选做题】（在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵，A的逆矩阵，求A的特征值．【解答】解：∵矩阵，A的逆矩阵，∴AA﹣1＝＝，解得a＝1，b＝﹣，∴A＝．|λE﹣A|＝＝（λ﹣3）（λ﹣1）＝0，解得A的特征值为1或3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l过点A（），B（3，0），且直线l与曲线C：ρ＝a cosθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【解答】解：直线l过点A（），B（3，0）转化为直角坐标为：A（，），B（3，0），则直线l的方程为：．曲线C：ρ＝a cosθ（a＞0）转化为直角坐标方程为：，直线l与曲线C有且只有一个公共点，则：解得：a＝2（负值舍去）．实数a的值为2．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线C：x2＝2py（0＜p＜2）的焦点为F，M（2，y0）是C上的一点，且．（1）求C的方程；（2）直线l交C于A、B两点，k OA•k OB＝﹣2且△OAB的面积为16，求l的方程．【解答】解：（1）将M（2，y0）代入x2＝2py得y0＝，又|MF|＝y0﹣（﹣）＝+＝，∴p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y，（2）直l的斜率显然存在，设直线l：y＝kx+b，A（x1，y1）、B（x2，）由得：x2﹣2kx﹣2b＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b由，k OA k OB＝•＝＝﹣＝﹣2，∴b＝4∴直线方程为：y＝kx+4，所以直线恒过定点（0，4），原点O到直线l的距离d＝，∴S OAB＝×d|AB|＝ו＝＝2＝16，∴4k2+32＝64，解得k＝±2所以直线方程为：y＝±2x+4．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为a n，数列{a n}的前n 和为S n．记S n是3的倍数的概率为P（n）．（1）求P（1），P（2）；（2）求P（n）．【解答】解：（1）抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P（1）＝，抛掷两次，出现1+2，2+1，0+0，3+3，0+3，3+0时，符合要求，故计6种情况，故P（2）＝＝．（2）设S n被3除时余1的概率为p1（n），S n被3除时余2的概率为P2（n），则P（n+1）＝+，①P1（n+1）＝+，②P2（n+1）＝，③①﹣（②+③），得：P（n+1）﹣[P1（n+1）+P2（n+1）]＝﹣[P1（n）+P2（n）]，化简，得4P（n+1）＝p（n）+1，∴P（n+1）﹣＝[P（n）﹣]，又P（1）＝，∴P（n）＝．。