2016年浙江省杭州市西湖区中考数学二模试卷一、仔细选一选，本题有10个小题，每题3分，共30分1．（3分）在实数π、、、tan60°中，无理数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x=﹣1 D．与x轴有两个交点3．（3分）五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（）A．19和20 B．20和19 C．20和20 D．20和214．（3分）若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°6．（3分）不等式组的整数解共有（）个．A．4 B．3 C．2 D．17．（3分）在平面直角坐标系中，将直线x=0绕原点顺时针旋转45°，再向上平移1个单位后得到直线a，则直线a对应的函数表达式为（）A．y=x B．y=x﹣1 C．y=x+1 D．y=﹣x+18．（3分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（）A．+=B．﹣=C．+10=D．﹣10=9．（3分）以下说法：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数y=﹣，当＞0时y随x的增大而增大，正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．③④10．（3分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：①AE=6cm；②当0＜t≤10时，y=t2；③直线NH的解析式为y=﹣5t+110；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（4分）分解因式：ax2﹣4ax+4a=．13．（4分）已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为cm．14．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是．15．（4分）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9）阴影三角形部分的面积从左向右依次为S1、S2、S3…S n，则第4个正方形的边长是S n的值为三、全面答一答，本题有7个小题，共66分17．（6分）计算（1）2sin45°﹣++||（2）（2a+3b）（3a﹣2b）18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB 于点D，交AC于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．19．（8分）某校举行春季运动会，需要在初三年级选取1或2名同学作为志愿者，初三（5）班的小熊、小乐和初三（6）班的小矛、小管4名同学报名参加．（1）若从这4名同学中随机选取1名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初三（5）班同学的概率是；（2）若从这4名同学中随机选取2名志愿者，请用列举法（画树状图或列表）求这2名同学恰好都是初三（6）班同学的概率．20．（10分）如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于A，与y轴交于点B，求：（1）△AOB面积=；（2）△AOB内切圆半径=；（3）点C在第二象限内且为直线AB上一点，OC=，反比例函数y=的图象经过点C，求k的值．21．（10分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B 的坐标为（4，3），双曲线y=（x＞0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；（2）求k的取值范围；（3）连接PQ，AC，判断：PQ∥AC是否总成立？并说明理由．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8，（1）求证：AE=CD；（2）求点C坐标和⊙M直径AB的长；（3）求OG的长．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）若抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：关于x的方程x﹣4=在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．2016年浙江省杭州市西湖区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选，本题有10个小题，每题3分，共30分1．（3分）在实数π、、、tan60°中，无理数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵tan60°=，∴在实数π、、、tan60°中，无理数有：π，，tan60°．故选：C．2．（3分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x=﹣1 D．与x轴有两个交点【解答】解：A、y=（x﹣1）2+2，∵a=1＞0，∴图象的开口向上，此选项错误；B、y=（x﹣1）2+2顶点坐标是（1，2），此选项正确；C、对称轴是直线x=1，此选项错误；D、（x﹣1）2+2=0，（x﹣1）2=﹣2，此方程无解，与x轴没有交点，故本选项错误．3．（3分）五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（）A．19和20 B．20和19 C．20和20 D．20和21【解答】解：根据平均数定义可知：平均数=（18+20+21+22+19）=20；根据中位数的概念可知，排序后第3个数为中位数，即20．故选C．4．（3分）若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，解得：m=1．故选C．5．（3分）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故选：C．6．（3分）不等式组的整数解共有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：解得，﹣1≤x＜，故不等式组的整数解是x=﹣1或x=0或x=1，即不等式组的整数解有3个，故选B．7．（3分）在平面直角坐标系中，将直线x=0绕原点顺时针旋转45°，再向上平移1个单位后得到直线a，则直线a对应的函数表达式为（）A．y=x B．y=x﹣1 C．y=x+1 D．y=﹣x+1【解答】解：∵直线x=0与x轴的夹角是90°，∴将直线x=0绕原点顺时针旋转45°后的直线与x轴的夹角为45°，∴此时的直线方程为y=x．∴再向上平移1个单位得到直线a的解析式为：y=x+1．故选C．8．（3分）小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（）A．+=B．﹣=C．+10=D．﹣10=【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，﹣=．故选：B．9．（3分）以下说法：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数y=﹣，当＞0时y随x的增大而增大，正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5或，故错误；②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°，故错误；④反比例函数y=﹣，当＞0时y随x的增大而增大，正确，故选C．10．（3分）如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论：①AE=6cm；②当0＜t≤10时，y=t2；③直线NH的解析式为y=﹣5t+110；④若△ABE与△QBP相似，则t=秒，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①观察图2可知：当t=10时，点P、E重合，点Q、C重合；当t=14时，点P、D重合．∴BE=BC=10，DE=14﹣10=4，∴AE=AD﹣DE=BC﹣DE=6，∴①正确；②设抛物线OM的函数解析式为y=ax2，将点（10，40）代入y=ax2中，得：40=100a，解得：a=，∴当0＜t≤10时，y=t2，②成立；③在Rt△ABE中，∠BAE=90°，BE=10，AE=6，∴AB==8，∴点H的坐标为（14+8，0），即（22，0），设直线NH的解析式为y=kt+b，∴，解得：，∴直线NH的解析式为y=﹣5t+110，③成立；④当0＜t≤10时，△QBP为等腰三角形，△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，∴当t=秒时，△ABE与△QBP不相似，④不正确．综上可知：正确的结论有3个．故选C．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣1．【解答】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，故答案为：x≥﹣1．12．（4分）分解因式：ax2﹣4ax+4a=a（x﹣2）2．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．13．（4分）已知圆锥的侧面积为20πcm2，母线长为5cm，则圆锥底面半径为4 cm．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l===8π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r===4cm．故答案为4．14．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是．【解答】解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故答案是：．15．（4分）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为．【解答】解：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，∵AE=2，BE=，AB=5，∴AE2+BE2=AB2，∴△ABE是直角三角形，∴SinA==．故答案为：．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9）阴影三角形部分的面积从左向右依次为S1、S2、S3…S n，则第4个正方形的边长是S n的值为【解答】解：如图，设正方形ABCD的边长为a，正方形DEFG的边长为B，=S△ACD+S梯形ADEF﹣S△CEF∴S△ACF=a2+（a+b）×b﹣（a+b）×b=a2∵正比例函数y=x的图象与x轴交角的正切值为，已知A的坐标为（27，9），∴∴第3个正方形的边长是9=9×（）0∴第4个正方形的边长是=9×同理可得第五个正方形的边长为=9×（）2第六个正方形的边长=9×（）3…第2n﹣1个正方形的边长9×（）2n﹣4第2n个正方形的边长9×（）2n﹣3根据前面得到的规律，Sn=×[9×（）2n﹣4]2=故答案为，．三、全面答一答，本题有7个小题，共66分17．（6分）计算（1）2sin45°﹣++||（2）（2a+3b）（3a﹣2b）【解答】解：（1）2sin45°﹣++||=2×﹣1+2+﹣1=2；（2）（2a+3b）（3a﹣2b）=6a2﹣4ab+9ab﹣6b2=6a2+5ab﹣6b218．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB 于点D，交AC于点E．（1）若BC=3，AC=4，求CD的长；（2）求证：∠1=∠2．【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=2.5；（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠1=90°，∴∠B=∠1，∵CD是AB边上的中线，∴BD=CD，∴∠B=∠2，∴∠1=∠2．19．（8分）某校举行春季运动会，需要在初三年级选取1或2名同学作为志愿者，初三（5）班的小熊、小乐和初三（6）班的小矛、小管4名同学报名参加．（1）若从这4名同学中随机选取1名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初三（5）班同学的概率是；（2）若从这4名同学中随机选取2名志愿者，请用列举法（画树状图或列表）求这2名同学恰好都是初三（6）班同学的概率．【解答】解：（1）若从这4名同学中随机选取1名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初三（5）班同学的概率是；故答案为：；（2）列表如下：（小熊记作A，小乐记作B，小矛记作C，小管记作D），所有等可能的情况数有12种，其中这2名同学恰好都是初三（6）班同学的情况有2种，则P==．20．（10分）如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于A，与y轴交于点B，求：（1）△AOB面积=1；（2）△AOB内切圆半径=；（3）点C在第二象限内且为直线AB上一点，OC=，反比例函数y=的图象经过点C，求k的值．【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣a+1∴y=1，∴OB=1，令y=0代入y=﹣x+1，∴x=2，∴OA=2，S=OA•OB=1；（2）设△AOB内切圆的圆心为M，⊙M与OA、OB、AB分别切于E、F、G，连接OE、OF，如图1，∵∠OEM=∠MFO=∠FOE=90°，∴四边形MFOE是矩形，∵ME=MF，∴矩形MFOE是正方形，设⊙M的半径为r，∴MF=ME=r，由切线长定理可知：BF=BG=1﹣r，AE=AG=2﹣r，由勾股定理可求得：AB==，∴AG+BG=AB，2﹣r+1﹣r=，∴r=；（3）过点C作CD⊥x轴于点D，如图2，∵OC=AB，∴OC=，∵点C在直线AB上，∴设C（a，﹣a+1）（a＜0），∴OD=a，CD=﹣a+1，由勾股定理可知：CD2+OD2=OC2，∴a2+（﹣a+1）2=，∴a=﹣或a=1（舍去）∴C的坐标为（﹣，），把C（﹣，）代入y=，∴k=﹣．21．（10分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B 的坐标为（4，3），双曲线y=（x＞0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；（2）求k的取值范围；（3）连接PQ，AC，判断：PQ∥AC是否总成立？并说明理由．【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，∴BC∥OA，∵点B坐标（4，3），∴BC=4，AB=3，∵PC=PB，∴点P坐标（2，3），∴反比例函数解析式y=，∵点Q的横坐标为4，∴点Q的坐标为（4，）．（2）设点P坐标（x，3），则0＜x＜4，把点P（x，3）代入y=得到，x=，∴0＜＜4，∴0＜k＜12．（3）结论：PQ∥AC总成立．理由：设P（m，3），Q（4，n），则3m=4n=k，∴===，===，∴=，∵∠B=∠B，∴△BPQ∽△BCA，∴∠BPQ=∠BCA，∴PQ∥AC．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点m在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C，D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8，（1）求证：AE=CD；（2）求点C坐标和⊙M直径AB的长；（3）求OG的长．【解答】解：（1）∵点C是的中点，∴，∵AB⊥CD，∴由垂径定理可知：=，∴，∴，∴AE=CD；（2）连接AC、BC，由（1）可知：CD=AE=8，∴由垂径定理可知：OC=CD=4，∴C的坐标为（0，4），由勾股定理可求得：CA2=22+42=20，∵AB是⊙M的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CAB，∴△CAO∽△BAC，∴，∴CA2=AO•AB，∴AB==10；（3）由（1）可知：，∴∠ACD=∠CAE，∴AG=CG，设AG=x，∴CG=x，OG=OC﹣CG=4﹣x，∴由勾股定理可求得：AO2+OG2=AG2，∴22+（4﹣x）2=x2，∴x=，∴OG=4﹣x=23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=mx2+4x+1．（1）当抛物线C经过点A（﹣5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）若抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：关于x的方程x﹣4=在0＜x＜4范围内有两个解，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线C：y=mx2+4x+1经过点A（﹣5，6），∴6=25m﹣20+1，解得m=1，∴抛物线的表达式为y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；（2）∵抛物线C：y=mx2+4x+1（m＞0）与x轴的交点的横坐标都在﹣1和0之间，∴当x=﹣1时，y＞0，且△≥0，即，解得：3＜m≤4；（3）方程x﹣4=的解即为方程x2﹣4x﹣a+3=0的解，而方程x2﹣4x﹣a+3=0的解即抛物线y=x2﹣4x﹣a+3与x轴交点的横坐标，∵方程在0＜x＜4范围内有两个解，∴当x=0时y＞0，x=4时y＞0，且△＞0，即，解得：﹣1＜a＜3．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。