第五章 实际流体动力学基础5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ，u y =-2ay ，a 为实数，且a >0。

试求切应力τxy 、τyx 和附加压应力p ′x 、p ′y 以及压应力p x 、p y 。

解：0y x xyyx u u x y ττμ∂⎛⎫∂==+= ⎪∂∂⎝⎭24xxu p a xμμ∂'=-=-∂，24y y u p a y μμ∂'=-=∂， 4x x p p p p a μ'=+=-，4y y p p p p a μ'=+=+5－2 设例５－1中的下平板固定不动，上平板以速度v 沿x轴方向作等速运动（如图所示），由于上平板运动而引起的这种流动，称柯埃梯（Couette ）流动。

试求在这种流动情况下，两平板间的速度分布。

（请将d 0d px=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较）解：将坐标系ox 轴移至下平板，则边界条件为 y ＝０，0X u u ==；y h =，u v =。

由例５－1中的（11）式可得2d (1)2d h y p y yu v h x h h μ=-- （１） 当d 0d p x =时，y u v h=，速度ｕ为直线分布，这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。

它只是由于平板运动，由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。

当d 0d px≠时，即为一般的柯埃梯流动，它是由简单柯埃梯流动和泊萧叶流动叠加而成，速度分布为(1)u y y yp v h h h=-- （２） 式中2d ()2d h pp v xμ=- （３） 当p ＞０时，沿着流动方向压强减小，速度在整个断面上的分布均为正值；当p ＜０时，沿流动方向压强增加，则可能在静止壁面附近产生倒流，这主要发生p ＜－１的情况．5－3 设明渠二维均匀（层流）流动，如图所示。

若忽略空气阻力，试用纳维—斯托克斯方程和连续性方程，证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2x g u zh z r q m=-，单宽流量3sin 3gh q r q m =。

解：（1）因是恒定二维流动，0y x zu u u t t t¶¶¶===抖?，u u x =，0y u =，0z u =，由纳维——斯托克斯方程和连续性方程可得2210x x u p f x z μρρ∂∂-+=∂∂，10zp f z ρ∂-=∂，0x u x ∂=∂ sin x f g q =，cos z f g q =-。

因是均匀流，压强分布与x 无关，0xp=∂∂，因此，纳维——斯托克斯方程可写成22sin 0x u g z μθρ∂+=∂，1cos 0pg zθρ∂--=∂ 因u x 只与z 方向有关，与x 无关，所以偏微分可改为全微分，则22d sin 0d x u g z m q r +=，积分得 1d sin d x u gz C z ρθμ-=+， 212sin 2x g u z C z C ρθμ=-++，当0z =，0x u =；h z =，d 0d x u z=，得1sin gC h r q m =，0C 2=，2sin sin 2x g g u z hz ρρθθμμ=-+，2sin (2)2x g u zh z r q m=- （2）2d sin (2)d 2h h xg q u z zh z z r q m==-蝌333sin ()sin 233g h gh h r r q q m m =-=。

5－4 设有两艘靠得很近的小船，在河流中等速并列向前行驶，其平面位置，如图a 所示。

（1）试问两小船是越行越靠近，甚至相碰撞，还是越行越分离。

为什么？若可能要相碰撞，则应注意，并事先设法避免。

（2）设小船靠岸时，等速沿直线岸平行行驶，试问小船是越行越靠岸，还是越离岸，为什么？（3）设有一圆筒在水流中，其平面位置如图b 所示。

当圆筒按图中所示方向（即顺时针方向）作等角转速旋转，试问圆筒越流越靠近D 侧，还是C 侧，为什么？解：（1）取一通过两小船的过流断面，它与自由表面的交线上各点的22p u z g gr ++应相等。

现两船间的流线较密，速度要增大些，压强要减小些，而两小船外侧的压强相对要大一些，致使将两小船推向靠近，越行越靠近，甚至可能要相碰撞。

事先应注意，并设法避免、预防。

（2）小船靠岸时，越行越靠近岸，理由基本上和上面（1）的相同。

（3）因水流具有粘性，圆筒旋转后使靠D 侧流速增大，压强减小，致使越流越靠近D 侧。

5-5 设有压圆管流（湍流），如图所示，已知过流断面上的流速分布为71max )(r yu u =，max u 为管轴处的最大流速。

试求断面平均流速v （以u max 表示）和动能修正系数α值。

解：设17n =， 5－6 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管内恒定水流的流量，如图所示。

已知d 1 =0.10m ，d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝ｍ，文丘里管流量系数μ =，试求流量Q 。

解：由伯努利方程得221112221222p v p v z z g g g gααρρ++=++ （１） 由连续性方程得 222122210.05()()0.250.1d v v v v d === （２） 由压差计得 1122()p g z z z h p gz gh ρρρ+-++=++Hg1212()()p pz z g gρρ+-+()()g g h h g ρρρρρρ--==HgHg 1212()()p p z z g g ρρ+-+136001000()12.61000h h -== （３） 将式（２）（３）代入（１）得220.937512.62gv h =，212.60.0429.8m/s 3.246m/s 0.9375v ⨯⨯⨯== 2233322ππ0.05 3.246m /s 6.3710m /s 44-==⨯⨯=⨯d Q v5－7 设用一附有水银压差计的文丘里管测定铅垂管内恒定水流流量，如图所示。

已知d 1 =0.10m ，d 2 =0.05m ，压差计读数h ＝ｍ，文丘里管流量系数μ =，试求流量Q ．请与习题5－6、例5－4比较，在相同的条件下，流量Q 与文丘里管倾斜角是否有关。

解：与习题５－6的解法相同，结果亦相同，（解略）．它说明流量Q 与倾斜角无关． 5－8 利用文丘里管的喉道负压抽吸基坑中的积水，如图所示。

已知d 1 =50mm ，d 2 =100mm ，h =2m ，能量损失略去不计，试求管道中的流量至少应为多大，才能抽出基坑中的积水。

解：对过流断面1－１、２－２写伯努利方程，得332m /s 0.0127m /s 12419Q >=，30.0127m /s 所以管道中流量至少应为。

5－9 密度为860kg/m 3的液体，通过一喉道直径d 1 =250mm 的短渐扩管排入大气中，如图所示。

已知渐扩管排出口直径d 2=750mm ，当地大气压强为92kPa ，液体的汽化压强（绝对压强）为5kPa ，能量损失略去不计，试求管中流量达到多大时，将在喉道发生液体的汽化。

解：对过流断面1－1，2－2写伯努利方程管道中流量大于0.703m 3/s 时，将在喉道发生液体的汽化。

5－10 设一虹吸管布置，如图所示。

已知虹吸管直径d =150mm ，喷嘴出口直径d 2 =50mm ，水池水面面积很大，能量损失略去不计。

试求通过虹吸管的流量Q 和管内A 、B 、C 、D 各点的压强值。

解：对过流断面1-1，2-2写伯努利方程，可得28.85m/s v =，223322ππ0.058.85m /s 0.0174m /s 44==⨯⨯=Q d v 由连续性方程得 222A B C D 250()8.85()m/s 0.983m/s 150d v v v v v d =====⨯=对过流断面1-1、A -A 写伯努利方程，可得同上，可得20.48kN/m =-B p ，220.08kN/m =-C p ，238.72kN/m =D p5－11 设有一实验装置，如图所示。

已知当闸阀关闭时，点A 处的压力表读数为×104Pa （相对压强）；闸阀开启后，压力表读数为×104Pa ；水管直径d =0.012m ，水箱水面面积很大，能量损失略去不计，试求通过圆管的流量Q 。

解：由题意得，水箱高度是ρAp g。

对过流断面1-1，2-2，写伯努利方程可得： 5－12 设有一管路，如图所示。

已知A 点处的管径d A =0.2m ，压强p A =70kPa ；B 点处的管径d B =0.4m ，压强p B =40 kPa ，流速v B =1m/s ；A 、B 两点间的高程差△z =1m 。

试判别A 、B 两点间的水流方向，并求出其间的能量损失w AB h 。

解：220.41m/s 4m/s 0.2==⨯=B A B A d v v d （）（），22w 22ρρ++=+++A A B B A B AB P v p v z z h g g g g 3232w 3370104 4.010119.81029.89.81029.8⨯⨯+=+++⨯⨯⨯⨯AB hw 2.83m =AB h H 2O水流由A 点流向B 点。

5－13 一消防水枪，从水平线向上倾角α =30°，水管直径d 1 =150mm ，喷嘴直径d 2 =75mm ，压力表M 读数为××105Pa ，能量损失略去不计，且假定射流不裂碎分散。

试求射流喷出流速v 2和喷至最高点的高度H 及其在最高点的射流直径d 3。

（断面1-1，2-2间的高程差略去不计，如图所示。

）22M 212g p v v gρ-=，52420.07520.3 1.01310[1()]60.780.151000v ⨯⨯⨯-==，28.05m/s v = 由自由落体公式得5-14 一铅垂立管，下端平顺地与两水平的平行圆盘间的通道相联，如图所示。

已知立管直径d =50mm ，圆盘的半径R =0.3m ，两圆盘之间的间隙δ =1.6mm ，立管中的平均流速v =3m/s ，A 点到下圆盘顶面的高度H =1m 。

试求A 、B 、C 、D 各点的压强值。

能量损失都略去不计，且假定各断面流速均匀分布。

解：由连续性方程得221.95m/s 3.90m/s ==⨯=C D v v ，B 0v =由伯努利方程得：0=D p ，222ρ-=-C D C D v v p p g g（）1111225-15 水从铅垂立管下端射出，射流冲击一水平放置的圆盘，如图所示。

已知立管直径D =50mm ，圆盘半径R =150mm ，水流离开圆盘边缘的厚度δ =1mm ，试求流量Q 和水银压差计中的读数Δh 。