第1讲 绝对值和绝对值不等式的解法5.1 绝对值的概念定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．例如，2-到原点的距离等于2，所以22-=．这一定义说明了绝对值的几何定义，从这一定义中很容易得到绝对值的求法：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩． 5.1.1 绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ）A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4解：A【例2】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3解：C当a 、b 、c 都是正数时，M = ______；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = ________；当a 、b 、c 都是负数时，M =__________ ．解：3；1，1-，3-．练习1：已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc a b c abc+++的值 解：由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，（1）当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=；（2）当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=．原式0=．【例4】若42a b -=-+，则_______a b +=． 解：424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=． 结论：绝对值具有非负性，即若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =．练习1：()2120a b ++-=， a =________；b =__________解：1,2a b =-=．练习2：若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋． 解：由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋． 5.1.2 零点分段法去绝对值对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．【例5】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3种情况：⑴当1x ≤-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<<时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：（1）别求出2x +和4x -的零点值解：令20x +=，解得2x =-，所以2x =-是2x +的零点；令40x -=，解得4x =，所以4x =是4x -的零点．（2）化简代数式24x x ++-解：⑴当2x ≤-时，原式()()2422x x x =-+--=-+；⑵当24x -<<时，原式()()246x x =+--=；⑶当x ≥4时，原式2422x x x =++-=-．综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．（3）化简代数式122y x x =-+- 解：当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．综上讨论，原式()()()531312352x x x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩．5.1.3 绝对值函数常见的绝对值函数是：,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，其图象是绝对值函数学习时，要抓关键点，这里的关键点是0x =．思考如何画y x a =-的图象？我们知道，x 表示x 轴上的点x 到原点的距离；x a -的几何意义是表示x 轴上的点x 到点a 的距离．【例6】 画出1y x =-的图像解：（1）关键点是1x =，此点又称为界点；（2）接着是要去绝对值当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-．（3）图像如右图说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到练习1.（1）画出2y x =-的图像； （2）画出2y x =的图像【例7】画出122y x x =-+-的图象解：（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值当1x ≤时，53y x =-；当12x <<时，3y x =-；当2x ≥时，35y x =-．（3）图象如右图所示．【例8】 画出函数223y x x =-++的图像解：（1）关键点是0x =（2）去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++；当0x <时，223y x x =--+（3）可作出图像如右图【例9】 画出函数232y x x =-+的图像解：（1）关键点是1x =和2x =（2）去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+；当12x <<时，232y x x =-+-（3）可作出图像如右图1．35-=________；3π-=________；3.1415π-=_____； 2．2215x y -+-=，4x =，则y =__________． 3．若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数4．若x x >，那么x 是________数． 5．如图，化简22a b b c a c +------=_____________6．已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．7．化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象8．化简523x x ++-．9.画出23y x =+的图像10.画出223y x x =-++的图像答案：1．35；3π-； 3.1415π- 2．2或1- 3．C 4．负5．-4 6．37．23,21,2123,1x xy xx x--≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如下8．32,538,52332,2x xy x xx x⎧⎪--≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩9．如图所示10．如图所示5.2 绝对值不等式到了高中，绝对值不等式需要强调的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类讨论，其中几何意义的应用主要涉及到有关绝对值不等式的解法，而分类讨论的思想就体现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．【例1】解方程：21x-=．解：原方程变为21x-=±，∴3x=或1x=．【例2】解不等式1x<．解：x对应数轴上的一个点，由题意，x到原点的距离小于1，很容易知道到原点距离等于1的点有两个：1-和1，自然只有在1-和1之间的点，到原点的距离才小于1，所以x的解集是{|11}x x-<<．练习1．解不等式：（1）3x<；（2）3x>（3）2x≤解：（1）{|33}x x-<<（2）{|33}x x x<->或（3）{|22}x x-≤≤结论：（1）(0)x a a<>的解集是{|}x a x a-<<，如图1．（2）(0)x a a>>的解集是{|}x x a x a<->或，如图2．【例3】解不等式 21x -<． 解：由题意，121x -<-<，解得13x <<，所以原不等式的解集为{|13}x x <<．结论：（1）(0)ax b c c c ax b c +<>⇔-<+<．（2）(0)ax b c c ax b c +>>⇔+>或ax b c +<-练习1：解不等式：（1）103x -<；（2）252x ->；（3）325x -≤；解：（1）由题意，3103x -<-<，解得713x <<，所以原不等式的解集为{|713}x x <<．（3）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <，，所以原不等式的解集为73{|}22x x x ><或． （3）由题意，5325x -<-≤，解得14x -≤≤，所以原不等式的解集为{|14}x x -≤≤．练习2：解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩． 解：由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤，① 由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<，② 由①②得，4233x -<<，所以原不等式的解集为42{|}33x x -<<． 练习3：解不等式1215x ≤-<． 解：方法一：由215x -<，解得23x -<<；由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥，联立得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或． 方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或，所以原不等式的解集为{|2013}x x x -<<≤<或．【例4】解不等式：4321x x ->+解：方法一：（零点分段法）（1）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <；（2）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >； 综上所述，原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 方法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >，所以原不等式的解集为1{|2}3x x x <>或． 结论：（1）()()()ax b f x f x ax b f x +<⇔-<+<． （2）()()ax b f x ax b f x +>⇔+>或()ax b f x +<-．练习4：解不等式：431x x -≤+． 解：由431x x -≤+得(1)431x x x -+≤-≤+，解得2453x ≤≤，原不等式的解集为24{|}53x x ≤≤．【例5】解方程：（1）213x x ++-= （2）215x x ++-=（3）314x x +--= （4）324x x +--=【初中知识链接】在三角形中，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个结论反映在数轴上是这样的：若a 和b 是数轴上的两个数，那么当a x b <<时，数x 到a 和b 的距离之和等于a 与b 的距离；当x a <或x b >时，数x 到a 和b 的距离之差的绝对值，等于a 与b 的距离．以上所有问题都可以用此方法解决．解：（1）等式左边式子21x x ++-的几何意义是，实数x 到2-和1的距离之和，而2-和1的距离之和也刚好是3，容易知道，当x 位于2-和1之间时，x 到2-和1的距离之和就刚好为3，所以x 的取值范围是21x -≤≤．（2）等式左边式子的几何意义是，实数x 到2-和1的距离之和，由于2-和1的距离是3，所以x 一定在2-和1的两边，经过计算，可知当x 位于3-和2时，满足条件．（3）等式左边式子的几何意义是，实数x 到3-和1的距离之差，由于3-和1的距离刚好是4，所以当x 位于3-到1的两边时，x 到3-和1的距离之差刚好为4，x 的取值范围是3x ≤-或1x ≥．（4）等式左边式子的几何意义是，实数x 到3-和2的距离之差，由于3-和1的距离刚好是5，所以x 一定位于3-到2之间，可知当x 位于52-和32时，满足条件． 【例6】解不等式：215x x ++-<方法1：利用零点分区间法（推荐）分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x ．2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论．解：当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ； 当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩， 解得：12≤≤-x ； 当1>x 时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ． 综上，原不等式的解集为{}23<<-x x ．说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值．方法2：利用绝对值的几何意义 解：215x x ++-<的几何意义是数轴上的点x 到1和2-的距离之和小于5的点所对应的取值范围，由数轴可知，1(2)35--=<，易知当3x =-或2x =时，215x x ++-=，所以x 位于3-和2之间（不含端点），所以32x -<<，所以原不等式的解集为{}23<<-x x ．说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势明显．练习1．217x x ++-<解：{|43}x x -<<练习2．解不等式：324x x +--≤ 解：3{|}2x x ≤练习3．23228x x ++-≤解：97{|}44x x -≤≤ 【例7】解不等式：123x x x -+->+解：当1x <时，原不等式变为：312x x x -+->+，解得：0x <；当12x ≤≤时，得312x x x -+->+，无解当2x >时，得312x x x -+->+，解得：6x >．综上，原不等式的解集为{|06}x x x <>或．【例8】解关于x 的不等式231x a +-<解：原不等式变为231x a +<+ （1）当1a ≤-时，10a +≤，原不等式无解；（2）当1a >-时，(1)231a x a -+<+<+，解得2122a a x --<<-． 综上所述，当1a ≤-时，原不等式无解；当1a >-时，原不等式的解集为21{|}22x a a x --<<-．1.已知6a <-，化简26a ( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -2.不等式23x +<的解是 ，不等式1211<-x 的解是______________. 3.不等式830x -≤的解是______________. 4.根据数轴表示,,a b c 三数的点的位置，化简a b a c b c +++--= ___ .a 0b c5.解不等式329x ≤-<6.解不等式124x x ++-<7.解下列关于x 的不等式：1235x ≤-<精品文档随意编辑 8.解不等式3412x x ->+9．解不等式：122x x x -+-<+答案1.B2. {|51}x x -<<；{|04}x x <<3. 3{}84.05. {|71511}x x x -<≤-≤<或6. 35{|}22x x -<<7. {|1124}x x x -<≤≤<或 8. 3{|5}5x x x <>或9．1{|5}3x x <<。