练习:绝对值不等式的解法
解不等式：|x2-3|＞2x22x30或 x22x30
x＞3或x＜-1或-3＜x＜1. 故原不等式的解集为{x|x＜1或x＞3}.
练习：把下列绝对值不等式转 化为同解的非绝对值不等式。
1、|2x-3|<5x 2、|x2-3x-4|>4
x 1 ,或 x 5 ， 或 1 x 3 , 原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
练 习 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 2:原 不 等 式 x23x4 (x 1 )或 x23x4x 1
a |x| b axb或 axb axb或 -bxa(a0)
题型：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
方法一：等价于 不等式组
| ax b | n | ax b | m
方法二：几何意义
-m
-n 0 n
m
n a x b m ,或 m a x b n
推广 a f ( x ) b a f ( x ) b 或 - b f ( x ) a
1形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集:
① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
注：如果 a ≤0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.
变式例题：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
fx a (a 0 ) a fx a ；
推广
fx a (a 0 ) fx a 或 fx a ；
推广
fx g (x ) g (x ) fx g (x ) ； fx g ( x ) fx g ( x ) 或 fx g ( x ) ；
题型：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
解得0＜x＜2或-4＜x＜-2.
解不等式： x1x3
依据： |a|>|b|
a2>b2
解：因为 |x-1| > |x-3|
所以 两边平方可以等价转化为
（x-1)2>(x-3)2
化简整理：x>2
平方法：注意两边都为非负数
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)|
例3、解不等式 x 2 ≥ x
解:(1)当x>1时，原不等式同解于
(x-x1>)1+(x+2) ≥5 x≥2
(2)当-2≤x≤1时，原不等式同解于
-2≤x≤1
-(x-1)+(x+2)
≥5
x
(3)当x<-2时，原不等式同解于
x<-2 -(x-1)-(x+2) ≥5
x≤-3
综合上述知不等式的解集为xx≥ 2或 x≤ 3
题型四：含多个绝对值不等式的解法
题型四：含多个绝对值不等式的解法
练习4 解不等式 x+1 - x-3 2
解不等式
x2x37
2x43x37
3.解不等式:|x2||x1|3
x 2
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解析原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
-a-2 0 a2 不等式│x│> 2解集 为{x│x > 2或x<-2 }
-a-2 0 a2
类比归纳：|：||xxx|||<|<<|xx03|15的|<的>的a解a解（解(aa>>00))|||xxx|||>>>0315 的 的的解 解解X>-aa<或x<xa<-a
|x|<-2的解
|x|>-2的解
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
解： 由绝对值的意义，原不等式转化为： -(6-x)<5x-6<(6-x)
解(Ⅰ)得：0<x<2;
综合得0<x<2
题型：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
|x|<a（a>0）的解集为： {x|－a<x<a} |x|>a（a>0）的解集为： {x|x<-a或x>a}
若| X +1| = 0,X =-1;若| X －3| = 0,X=3.
零点-1,3把数轴分成了三部分,如上图所示.
( 1 ) 当 x 1 时 ,x 1 0 ,x 3 0 , 原 不 等 式 变 形 为 ( x 1 ) ( x 3 ) 2 x , 即 x 0 .
此 时 , 得 { x |x 1 } { x |x 0 } { x |x 1 } .
x 2 ≥ x （ x 2）2 ≥ x 2 （ x 2）2 x 2 ≥ 0 ( x 2 x)(x 2 x) ≥ 0 2( 2 x 2 ) ≥ 0 x ≥ -1
不等式解集为 x x≥-1
推广 fx g x fx 2 g x 2
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)| 练习3 解不等式 |x2||x1|
2 x 5 7 ， 或 2 x 5 7 .
整理，得 x6， 或x1. 所 以 ， 原 不 等 式 的 解 集 是
{x ｜ x 6， 或 x1}.
练习:解不等式. (1)|x－5|<8; (2)|2x + 3|>1. 解:(1)由原不等式可得－8<x－5<8, ∴－3<x<13 ∴原不等式的解集为{x|－3<x<13}. (2)由原不等式可得2x + 3< －1或2x + 3 >1, ∴x<－2或x>－1
含绝对值不等式的解法
复习绝对值的意义：
x X>0 |x|= 0 X=0
- x X<0
代数的意义
一个数的绝对值表示： 与这个数对应的点到 原点的距离,|x|≥0
x2
B
O
|x1| =|OA|
x1
A
X
|x2|=|OB|
几何意义
方程│x│＝2的解集？ 为{x│x=2或x=-2}
-2 0
2
观察、思考：
不等式│x│<2的解集 为{x│-2 < x < 2 }
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解1 ： 法 3|32x|5 3|2x3|5
||
2x 2x
3| 3 3| 5
2x532x3， 3或 25x33
即x13， x或x4 0
-1 0
34
原不等式{x的 |1 解 x集 0， 或 3是 x4}.
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是 | 3x-1 | >2如何解？
题型一:研究|ax+b|<(>)c型不等式 在 这 里 ， 我 们 只 要 把 ax+b 看 作 是
整体就可以了，此时可以得到：
|axb|ccaxbc |axb|caxbc 或axbc
(c0)
例 1解 不 等 式 ｜ 2 x 5 ｜ 7 . 解 ： 由 原 不 等 式 可 得
四、练习
2.解不等式 x9x1
解： x9x1
x 9 2 x 1 2
x5
1
5
9
题 型 ： xaxbc和 xaxbc型 不 等 式 的 解 法
题型四：含多个绝对值不等式的解法
例4 怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
例 5 解 不 等 式 x 1 x 2 5
例3、解不等式 1<︱3x+4︱≤6
解法二：依绝对值的意义，原不等式等价于： -6≤3x+4<-1 或 1<3x+4 ≤6
解 得 ：-1 3 0x 5 3或 1 x3 2 ， ∴原不等式的解集为：{x|-1 3 0x5 3或 1x3 2} 比较此题的两种解法，解法二比较简单，解法二 去掉绝对值符号的依据是：
3、| x-1 | > 2( x-3)
4、
x x
x2 x2
5、| 2x+1 |> | x+2 |
例3、解不等式 1<︱3x+4︱≤6
解法一：原不等式可化为：
| 3x 4| 6 |3x 4|> 1
3x643x4 1或 6 3x41 x13053x或 2 3x1
∴原不等式的解集为：{x|-130x53或1x32}
y
2x-4 f(x)= -2
(x 1) (x -2)
-2x-6 (x -2)
由图象知不等式的解集为
xx≥ 2或 x≤ 3
-2 1
-3
2x
-2
（ 2） xaxbc和 xaxbc 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
同 步 训 练 ： 解 不 等 式 x 2 x 3 4
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.