含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x xx x >++。
分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。
例3、解不等式123x x ->-。
解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。
二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
例4 解不等式125x x -++<。
分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。
2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。
解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x当1>x 时，得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩解得：21<<x综上，原不等式的解集为{}23<<-x x 。
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。
三、几何法：即转化为几何知识求解。
例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D)k ≤-3分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。
解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。
四、典型题型1、解关于x 的不等式10832<-+x x解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，即⎩⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---Y2、解关于x 的不等式2321>-x2x解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x解得：331<<-x∴ 原不等式的解集为)3,31(-4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈ 解：⑴ 当012≤-m 时，即21≤m ，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。
⑵ 当012>-m 时，即21>m ，原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m解得：m x m <<-1综上，当21≤m 时，原不等式解集为空集;当21>m 时，不等式解集为{}m x m x <<-15、解关于x 的不等式1312++<--x x x解：当3-<x 时，得⎩⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解当213≤≤-x ，得⎪⎩⎪⎨⎧++<---≤≤-13)12(213x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得⎪⎩⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)216、解关于x 的不等式521≥++-x x（答案：),2[]3,(+∞--∞Y ） 解：五、巩固练习1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .2、已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围 是 ．3、不等式121≥++x x 的实数解为 ． 4、解下列不等式 ⑴4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+； ⑶ |21||2|4x x ++->；⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2（a R ∈） 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）.A 8 .B 2 .C 4- .D 8-6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 7、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ；()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；8、不等式x x 3102≤-的解集为（ ）.A{|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {}|5x x ≤≤9、解不等式：221>-+-x x 10、方程x x x x x x 323222++=++的解集为 ，不等式xxx x ->-22的解集是 ； 12、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）.A )21,(-∞ .B )21,0()0,(Y -∞ .C ),21(+∞ .D )21,0( 11、不等式3529x ≤-<的解集是.A ()(),27,-∞-+∞U .B []1,4 .C [][]2,14,7-U .D (][)2,14,7-U12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值13、解关于x 的不等式：①解关于x 的不等式31<-mx ；②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）..A (0,2) .B (2,0)(2,4)-U .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)--U15、 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}21,2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B I 等于 ( ).A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .D ∅ 16、不等式211x x --<的解集是 ． 17、设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈（参考答案）1、 6 ； ∅ ；2、 ]4,0[3、)23,2()2,(----∞Y4、⑴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><231x x x 或 ⑵ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x ⑶ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<121x x x 或 ⑷ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-527212x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时，{}a x a x 22<<-；当0≤a 时，不等式的解集为∅5、C6、D7、⑴ 3<a ； ⑵ 4>a ； ⑶ 7>a ；8、C 9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或11、D 12、 1513、① 当0=m 时，R x ∈；当0>m 时，m x m 42<<-；当0<m 时，mx m 24-<< ② 当01>+a ，即1->a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-122a x a x ； 当01≤+a ，即1-≤a 时，不等式的解集为∅； 14、D 15、B 16、0(，)217、当01>-a ，即1<a 时，不等式的解集为{}a x a x x -><2或；当01=-a ，即1=a 时，不等式的解集为{}1≠x x ； 当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为R ；。