平面向量的基本定理及坐标表示 编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【要点梳理】要点一：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e 、 2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、 2e 唯一表示为a =1λ1e +2λ2e ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、 2e 的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a 与b 的夹角，记为〈a ，b 〉．当向量a 与b 不共线时，a与b 的夹角()000,180θ∈；当向量a 与b 共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a 与b 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a 与b 的夹角是90，就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题． （2）向量a ⊥b 是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直． 要点三：平面向量的坐标表示 1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 要点诠释：如果基底的两个基向量e 1、e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面上的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a =x i +y j .这样，平面内的任一向量a 都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(,)x y ，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．把a =(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =，AB CD =，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．要点四：平面向量的坐标运算1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算2．如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示 1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0.要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →不能表示成,2121y y x x =因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线. 【典型例题】类型一：平面向量基本定理【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】例1．如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示： （1）OE ；（2）BF ；（3）OG . 【解析】（1）OE OB BE =+=13b BA +=1()3b OA OB +-=1()3b a b +-=1233a b +（2）BF OF OB =-=1122OA b a b -=-（3）在OAE ∆中，取13MN BA =//FM OE ∴1||||2FM OE ∴=同理：//GE FM1||||2GE FM =∴G 是BF 的中点1()2OG OB OF ∴=+=111222b a +⋅=1142a b +【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【变式1】△ABC 中，BD=DC ，AE=2EC ，求,AG BGGD GE. 【思路点拨】选取AB ，AC 作为基底，构造G A 在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.【解析】设,AG BGm GD GEλ== ,1()2BD DC AD AB AC AD AD AB AC =∴-=-∴=+又()AG GD AD AG λλ==-()12(1)AG AD AB AC λλλλ∴==+++ …①又()BG mGE AG AB m AE AG =∴-=-，而23AE AC =23AG AB mAC mAG ∴-=-1213(1)mAGAB AC m m ∴=+++………………② 比较①②，由平面向量基本定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+)1(2)1(32)1(211λλλλm m m解得：32m =或1m =-（舍） ，把32m =代入112(1)m λλ=++得：4λ= 23,4==∴GE BG GD AG . 例2．如图，在△OAB 中，14OC OA =，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ，设OA a =，OB b =，试以a ，b 为基底表示OM ．【思路点拨】直接利用a 、b 表示OM 比较困难，可以先设OM ma nb =+，再根据三点共线的知识寻找出,m n 的两个方程，联立方程组，解之即得．【解析】设OM ma nb =+（m ，n ∈R ），则(1)AM OM AO m a nb =-=-+．1122AD OD OA b a a b =-=-=-+，∵A 、M 、D 三点共线，AM AD λ∴=，∴()11()2m a nb a b λ-+=-+ ∴1112m n-=-，即m+2n=1． ① 而14CM OM OC m a nb ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1144CB OB OC b a a b =-=-=-+， ∵C 、M 、B 三点共线，CM CB λ∴=，1144m a nb a b λ⎛⎫⎛⎫∴-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴14114m n-=-，即4m+n=1．②由2141m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得1737mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1377OM a b=+．【总结升华】（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．举一反三：【变式1】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且12AN NC=，BN与CM 相交于点E，设AB a=，AC b=，试用基底a，b表示向量AE．【解析】易得13AN b=，1122AM AB a==，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足1(1)(1)3AE mAN m AB mb m a=+-=+-．由C、E、M三点共线知存在实数n，满足1(1)(1)2AE nAM n AC na n b=+-=+-．所以11(1)(1)32mb m a na n b+-=+-．即113112m nm n⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3545mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2155AE a b=+．类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．设OA、OB、OP是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P 共线，当且仅当存在实数m 、n 使m+n=1且OP mOA nOB ==．【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A 、B 、P 共线⇒m+n=1，且OP mOA nOB ==成立；（2）上述条件成立⇒A 、B 、P 三点共线．【证明】（1）由三点共线⇒m 、n 满足的条件．若A 、B 、P 三点共线，则AP 与AB 共线，由向量共线的条件知存在实数λ使AP AB λ=，即()OP OA OB OA λ-=-，∴(1)OP OA OB λλ=-+．令1m λ=-，n=λ，则OP mOA nOB =+且m+n=1． （2）由m 、n 满足m+n=1⇒A 、B 、P 三点共线．若OP mOA nOB =+且m+n=1，则(1)OP mOA m OB =+-． 则()OP OB m OA OB -=-，即BP mBA =． ∴BP 与BA 共线，∴A 、B 、P 三点共线． 由（1）（2）可知，原命题是成立的．【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．举一反三：【变式1】设e 1，e 2是平面内的一组基底，如果124AB e e =-，12BC e e =+，1269CD e e =-，求证：A ，C ，D 三点共线．【解析】 因为1212121(4)()233AC AB BC e e e e e e CD =+=-++=-=，所以AC 与CD 共线．类型三：平面向量的坐标运算例4．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标.【思路点拨】根据题意可设出点C 、D 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----(1,8),(6,3).3(3,24),2(12,6).CA CB CM CA CN CB ∴==∴====设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=33,0,,(0,20).424,20x x M y y +==⎧⎧∴∴∴⎨⎨+==⎩⎩同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-(0,20),(9,2),(9,18).M N MN ∴=-【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】 已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-求点C ，D 的坐标和CD 的坐标.【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=-- 因为11,,33AC AB DA BA ==-， 所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,x y =-⎧⎨=⎩所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =-- 类型四：平面向量平行的坐标表示例5. 平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-= (1)若()//(2),a kc b a +-求实数k ；(2)设(,)d x y =满足()//()d c a b -+且||1,d c -=求d .【思路点拨】(1)由两向量平行的条件得出关于k 的方程，从而求出实数k 的值；(2)由两向量平行及得出关于x ，y 的两个方程，解方程即可得出x ，y 的值，从而求出d .【解析】(1)()//(2),a kc b a +-(34,2),2(5,2),234)(5)(2)0,16.13a kc k kb a k k k +=++-=-∴⨯+--⨯+=∴=-又（(2)(4,1),(2,4),d c x y a b -=--+=又()//()d c a b -+且||1,d c -=224(4)2(1)0,(4)(1)1,4,45555(445555x y x y x x y y d ---=⎧∴⎨-+-=⎩⎧⎧=+=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩+-∴=+-解得或或（）.【总结升华】(1)与平行有关的问题，一般可以考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解； (2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法. 举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-，(,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA ，即(k ―4)(12―k)―(k ―10)×7=0． 整理，得k 2―9k ―22=0．解得k 1=―2或k 2=11． ∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA ，CA 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若λ为实数，（a+λb ）∥c ，则λ=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2 【答案】B【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】例6．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==，则(44,4)AP OP OA λλ=-=-．(2,6)AC OC OA =-=-，由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=， 所以3(3,3)4OP OB ==．所以P 点坐标为（3，3）． 方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =，因为(4,4)OB =，且OP 与OB 共线，所以44x y =，即x=y ． 又(4,)AP x y =-，(2,6)AC =-，且AP 与AC 共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．举一反三：【变式1】如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．【解析】设(111,62)(10,4)BP BDλλλλ==--=．∵(11,1)CB=-，∵(1011,41)CP CB BPλλ=+=-+．又(8,4)CA=-，而CP与CA共线，∴4(10λ―11)+8(4λ+1)=0，解之，得12λ=．设点P的坐标为（x P，y P），∴(5,2)(1,2)P PBP x y==--，∴1522PPxy-=⎧⎨-=⎩，即64PPxy=⎧⎨=⎩．故点P的坐标为（6，4）．【总结升华】利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：（1）设线段AC、BD交于点P（x，y），并以AC、BD为对角线作四边形ABCD；（2）在四边形中寻找向量的相等或共线关系；（3）利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程（组）问题；（4）解这个方程（组），可得到问题的答案．。