2010高考数学考点预测圆锥曲线与方程一、考点介绍1•椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点 F1、F2的距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距•第二定义：平面内到定点F 与到定直线I 的距离之比是常数 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆，定点 叫做椭圆的焦点，定直线I 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率 2•椭圆的标准方程及其几何性质:22xy一221(a b 0)a b3•椭圆知识网络标准方程图形顶点 对称轴 焦占 八焦距 离心率准线方程(a,0) (0, b)(0, a) ( b,0)x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b F i ( c,0)F 2(c,0)焦距为IF 1F 21 2c(c 0),c 2 a 2 b 2ce a(0<e<1)2a x —cF i(0, c) F 2(0,c)2a y —c椭圆的 林准方—1画法椭岡的 定义长辘h LrwiH离心审e■備距4.双曲线的定义:第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距•第二定义：平面内到定点F与到定直线I的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线，定点叫做双曲线的焦点，定直线1叫做双曲线的准线，常数e叫做双曲线的离心率标准方程2 2x y孑£1(a0,b 0)2 2 y xa b1(a 0,b 0)J图形J［、1顶点(a，0)(0, a)对称轴X轴，y轴，实轴长为2a，虚轴长为2b焦占八 '、八\、R( C，0)，F2(C，0)F(0, c), F2(0, C)焦距焦距为l FlF22c(c 0), C2 2 .2a b离心率Ce a(e>1)22准线方程aXayC C&曲域的定 *标准方程 N几何性质的烁舍应用平面内到定点F和定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在I上)•定点F叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线8•抛物线的标准方程及其几何性质：-双曲线的几何性瓶范围(对称轴中心实紬1Lr彳对称性对称性卜｛鱼抛毀的Array 10•方程的曲线和曲线的方程在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与个二元方程f （x，y） 0的实数解建立了如下的关系：（i）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2 ）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线•11.圆锥曲线综合问题⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是°、°、01⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为yi 力k(Xl X 2)，运用韦达定理来进行计算当直线斜率不存在是，则ABY l丫2 .注 : 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既 熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算；2•当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法； 3•圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考 ：一是建立函数，用求值域的方法求范围二是建立不等式，通过解不等式求范围 •二、高考真题1. ( 2006年北京卷，文科，19)2 2 221(ab 0)椭圆C ： a b的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆C 上，且414PF 1 证,円| 3，丹2|亍(I)求椭圆C 的方程；(H)若直线l 过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A , B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.〖解析〗(I)由椭圆的定义及勾股定理求出 a,b,c 的值即可，(H)可以设出 A 、B 点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方 程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程〖答案〗解法一：(n )设 A , B 的坐标分别为(x1,y1 )、(x2,y2).已知圆的方程为(x+2) 2+(y — 1)2=5,所以圆心M 的坐标为(一2, 1) 从而可设直线l 的方程为 y=k(x+2)+1,代入椭圆C 的方程得g,y i ),B(X 2,y 2),则它的弦长AB v 1 k 2 X |2k ) (x ix 2)2 4X -|X 2(I )因为点P 在椭圆C 上， 所以2aPF 1 PF 26, a=3.F 1 F 2 在 Rt △ PF1F2 中， 1Y '〕PF2 2PF 1 22J55,故椭圆的半焦距从而 b2=a2 — c2=4,2X2所以椭圆C 的方程为94 = 1.c= 5X 22x 我们把由半椭圆a22 2丄1 丄b2 （x》°）与半椭圆b22x2c （x w °）合成的曲线称作“果(4+9k2 ) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k —27=0. 因为A , B关于点M对称.X1X218k2 9k2所以2 4 9k2k8解得9 ,8所以直线l的方程为y 9（X 2）1,即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）解法二：（I ）同解法（II ）已知圆的方程为（x+2 ）2+（y —1）2=5,所以圆心M的坐标为（一2, 1）设A , B的坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2).由题意x1x2且22X1y11,94①22X2y21,94②由①一②得(X1X2)(X X2) (y1 y2)(w y?)0.9 4 ③因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2= —4, y1+ y2=2,y i y2 8代入③得x1 x2 =9 ,8即直线I的斜率为9 ,8所以直线I的方程为y — 1 = 9 （x+2）, 即8x—9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）2. （2007年上海卷，文科，21）1(1 )若△ F O RF 2是边长为1的等边三角形，求该 的方程;(2 )设 P 是“果圆”的半椭圆2x_12 1c（x 三0）上任意一点.求证：当P 在点B 1, B 2或A 处;〖解析〗 示出PM所求 (2) PM 取得最小值时，PM（3）若P 是“果圆”上任意一点，（1）求出两个半椭圆的方程即可得到“果圆” 的长，根据二次函数的性质即可求出最小值, (1)F o (c, 0),0,b 2c 2F 2F 0F 2 ■ b 2 c 2a 2c 2“果圆”方程为设 P （x ，y ），则| PM |2xx 2(a |PM 即当(3)1, F 1F 22 b(x > 0) yc)x(a c)2 4PM 取得最小值时, 1AM | |MA 2|取得最小值时点P 的横坐标.的方程， （2）由两点间的距离公式表 （3）思路同（2）,只需分两种情况讨0, b 2-2cb 2,1的最小值只能在xP 在点B 1, B 2或A 1处.(x w 0)c处取到.且B 1和B 2同时位于“果圆”的半椭圆圆”，其中 a 2 b 2 c 2, a 0, b c 0 如图，设点F O , F 1, F 2是相应椭圆的焦点， A , A 2和B 1, B 2是“果圆” 与x , y 轴的交点，M 是线段A A 2的中点.2 2y x221（X W 0）和半椭圆be 上，所以，由（2）知，只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆2 2x y2 21( X > 0)a b上的情形即可.小值在x a 时取到，此时 P 的横坐标是a .a 2（a e ）综上所述，若a W 2c ,当|PM 1取得最小值时，点P 的横坐标是 2e 2 ；若a 2e , 当|PM 1取得最小值时，点 P 的横坐标是a 或e . 3. （ 2007年山东卷，理科，21）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为1.（I ）求椭圆C 的标准方程；（n ）若直线1 :y kx m 与椭圆C 相交于A , B 两点（A, B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线I 过定点，并求出该定点的坐标.〖解析〗（I ）由已知易求出 a , e 的值，即得椭圆方程，（n ）由待定系数法设出直线方程，联立椭圆方程后由k AD k BD1可以得到关于k 和m 的方程，求出满足0的k 和m 的关系式后即可得到过定点的直线方程| PM i 22e xaa 2(a 2e 22e)b 2(a c)242 2a (a e) 4e 22a (a 2e 2即a W 2e 时, |PMr 的最小值在a 2(a c)2e 2 时取到,此时P 的横坐标是a 2(a 2e 2 e)a 2(a 2e 2e)a，即a 2e 时，由于 I PM |2 在 x a 时是递减的，|PM2的最2y- 1.31答案〗(I)由题意设椭圆的标准方程为2yb 21(a0)3,a c 1 a 2,c1,b 2(II)设 A(x i , y i ), B(X 2, y 2)y 2X4 kx 2y 3(3 4k 2)x 2 8mkx 4(m 2 3)X iy i 2 2 64m k i6(3 2 4k )( 3) 3 4k 2 m 2y 2Q 以AB 8mk 2 4(m 22 , X i X 2 ------------3 3 4k 3 4k 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) 为直径的圆过椭圆的右顶点 D (2,0), k AD k BD y 2 x 1 2 x 2 y i- 12 y i y 2 为X 23(m 2 4k 2)3 4k 23(m 2 4k 2) 4( m 2 3) 16mk ,门/ A A 3 4k 2 3 4k 2 2 4 0 23 4 k 27 m 2 216mk 4k 0 ，解得km 1 2k, m 22 20.7 且满足3 4k m当m 2k 时，1: yk(x 2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾; 2k ,,/ 2、 2 c 、 m1: y k(x )e,0). 当 7时，7，直线过定点72( X i X 2) 4 0 1过定点，定点坐标为e ,0).综上可知，直线 4. ( 2008年湖南卷，文科，19)已知椭圆的中心在原点，一个焦点是 F （2，°），且两条准线间的距离为 （4）.（I ）求椭圆的方程；（II ）若存在过点A （ 1，0）的直线I ，使点F 关于直线I 的对称点在椭圆上， 求的取值范围1解析〗（I ）椭圆方程由a ，b , c 的关系易得，（II ）设出直线1的方程，求出点F 关于直线I 的对称点，代入椭圆方程解关于的不等式组即得的取值范围.2X ~21答案〗（I ）设椭圆的方程为 a2a 2故椭圆的方程是（II ）依题意，直线1的斜率存在且不为 0,记为k ,则直线1的方程是y k（x 1）.[2 ( 6)]2-4 ( 2 ( 6)0.(4)由条件知c 2,且c '所以,b 2 4.设点 F （2,0）关于 :直线1的对称点为 F (X 0，y °),则 2 2 乂 kX 0 221)，X。