圆锥曲线专题训练1、已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x [答案] C[解析] 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2、设直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与圆相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）答案D解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M 必在直线上.将代入得.因为点M 在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线上，由此可确定中点的纵坐标的范围，利用这个范围即可得到r的取值范围.3设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A、 B、 C、D【答案】A4.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．5、平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为【解析】设所在的直线方程为 ,则所在的直线方程为,解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,所以， . 所以， .6.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。

若点到直线的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c 的最大值为直线与渐近线之间距离，为解答题1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2a2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．[解析] (1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m .得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 由Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2. ∵x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2，∴y 1·y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k23＋4k2. 由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3m 2－4k 23＋4k 2＝－34·4m 2－33＋4k 2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0.由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·484k 2－m 2＋33＋4k22＝241＋k23＋4k 2.又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2，所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝12241＋k23＋4k2·|m |1＋k 2＝1224m23＋4k2＝3·2m23＋4k2＝3·3＋4k23＋4k2＝3， 故面积为定值 3.2、已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，证：直线AB 恒过定点． [解析] (1)⊙O 的圆心M (0,2)，半径r ＝1，设动圆圆心P (x ，y )，由条件知|PM |－1等于P 到l 的距离，∴|PM |等于P 到直线y ＝－2的距离，∴P 点轨迹是以M (0,2)为焦点，y ＝－2为准线的抛物线．方程为x 2＝8y . (2)设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 将直线AB 的方程代入到x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0，所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b ，又因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264＝－8b ＋b 2＝－16⇒b ＝4所以直线BC 恒过定点(0,4)．3、已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求C 的方程； (2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，(ⅰ)证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标； (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意知F (p 2，0)，设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0)．因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝|t －p2|，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)，由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)(ⅰ)由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，得|x D －1|＝x ＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0，设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)．所以直线AE 过定点F (1,0)．(ⅱ)由(ⅰ)知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋(1x 0＋1)＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝|4x 0＋x 0＋4＋m y 0＋8y 0－1|1＋m2=4x 0＋1x 0＝4(x 0＋1x 0)．则△ABE 的面积S ＝12×4(x 0＋1x 0)(x 0＋1x 0＋2)≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.[方法点拨] 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x 、y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x 、y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且k OA ·k OB ＝－b 2a2，试判断△AOB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．[解析] (1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2，又b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，△＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0,3＋4k 2－m 2>0. x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－33＋4k2.y 1·y 1＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k 2.k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34， y 1y 2＝－34x 1x 2，3m 2－4k23＋4k2＝－34·4m 2－33＋4k 22m 2－4k 2＝3，|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k2484k 2－m 2＋33＋4k22＝241＋k23＋4k2. d ＝|m |1＋k2＝1－141＋k2≥1－14＝32， S ＝12|AB |d ＝12241＋k23＋4k2|m |1＋k2＝12241＋k 2m23＋4k 21＋k2＝1224m23＋4k2＝12243＋4k 2·3＋4k22＝ 3. 5、如图，椭圆经过点.(I)求椭圆的方程； (II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.(I)由题意知，由，解得，继而得椭圆的方程为；(II) 设，由题设知，直线的方，代入，化简得，则2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A -2E (1,1)k E ,P Q A AP AQ 212c b a ==222a b c =+2a =2212x y +=()()1122,P x y Q x y 120x x ≠PQ (1)1(2)y k x k =-+≠2212x y +=22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知， 从而直线与的斜率之和 化简得.试题解析：(I)由题意知得，椭圆的方程为. (II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ，由已知，设， ， 从而直线与的斜率之和.[方法点拨] 定值问题的求解策略(1)在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数，或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值． (2)求解定值问题的三个步骤 ①由特例得出一个值，此值一般就是定值；②证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； ③得出结论．5、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++0∆>AP AQ 121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+12122(2)AP AQ x x k k k k x x ++=+-()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-12c b a ==a =2212x y +=PQ (1)1(2)y k x k =-+≠2212x y +=22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=0∆>()()1122,P x y Q x y 120x x ≠1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++AP AQ 121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-被椭圆截得的线段长为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠0)与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，求△MON (O 为坐标原点)面积的最大值． [解析] (1)∵e ＝33，∴a 2＝3c 2＝3a 2－3b 2，∴2a 2＝3b 2 将x ＝－c 代入椭圆方程得：y 2＝b 4a 2，y ＝±b 2a ，由题意：2b 2a ＝433，∴2a ＝3b 2 ，解得：a 2＝3 b 2＝2∴椭圆C 的方程为：x 23＋y22＝1 (2)联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1y ＝kx ＋t消去y 整理得：(3k 2＋2)x 2＋6ktx ＋3t2－6＝0 ① ∴Δ＝36k 2t 2－4(3k 2＋2)·(3t 2－6)＝24(3k 2＋2－t 2)>0，∴3k 2＋2>t 2②设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个解，由韦达定理得：x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝－6k 2t 3k 2＋2＋2t ＝4t 3k 2＋2 设MN 的中点为G (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt 3k 2＋2，y 0＝y 1＋y 22＝2t 3k 2＋2 ∴线段MN 的垂直平分线方程为：y －2t 3k 2＋2＝－1k⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3kt 3k 2＋2 将P ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14代入得：14＋2t 3k 2＋2＝3t 3k 2＋2化简得：3k 2＋2＝4t 代入②式得：4t >t 2，∴0<t <4 |MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·26·3k 2＋2－t23k 2＋2＝1＋k 2·26·4t －t 24t ＝1＋k 2·6·4t －t 22t 设O 到直线MN 的距离为d ，则d ＝t1＋k 2∴S △NOM ＝12·|MN |·d ＝12·1＋k 2·6·4t －t 22t ·t 1＋k 2＝64·4t －t 2＝64·－t －22＋4≤62(当且仅当t ＝2，k ＝±2时取“＝”号) ∴△MON 面积的最大值为62，此时直线l 的方程为：y ＝±2x ＋2. 6、已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围； (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)． [分析] 考查直线与椭圆的位置关系；点到直线的距离公式；求函数的最值及运算求解能力、函数与方程的思想． (1)可设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立消元化为一元二次方程，由AB 的中点在已知直线上知方程有两个不同的解，由此可得到关于m 的不等式，从而求解；(2)令t ＝1m，可将△AOB 表示为t 的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而获解．[解析] (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得(12＋1m 2)x 2－2b m x ＋b 2－1＝0，∵直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，∴Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，①，将AB 中点M (2mb m 2＋2，m 2bm 2＋2)代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2，②.由①②得m ＜－63或m ＞63.(2)令t ＝1m ∈(－62，0)∪(0，62)，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1，设△AOB 的面积为S (t )，∴S (t )＝12|AB |·d ＝12－2t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，故△AOB 面积的最大值为22. 7、已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率； (2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1、l 2于A ，B 两点(A 、B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)∵双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，∴b a ＝2，∴c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a 从而双曲线E 的离心率e ＝c a ＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C ，当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又∵△OAB 的面积为8，∴12|OC |·|AB |＝8， 因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1，若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能是x 24－y 216＝1. 以下证明：当直线l 与x 轴不垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意得k >2或k <－2，则C (－mk，0)，记A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k . 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k |＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24－y 216＝1得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0，∵4－k 2<0∴Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)， 又∵m 2＝4(k 2－4)，∴Δ＝0，即直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.[方法点拨] 1.求曲线的轨迹方程时，先看轨迹的形状是否预知，若能依据条件确定其形状，可用定义法或待定系数法求解；若动点P 与另一动点Q 有关，Q 在已知曲线上运动，可用代入法求动点P 的轨迹方程；否则用直译法求解．2．存在性问题主要体现在以下几方面：(1)点是否存在；(2)曲线是否存在；(3)命题是否成立．解决这类问题的一般思路是先假设存在满足题意的元素，经过推理论证，如果可以得到成立的结果，就可以作出存在的结论；若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的结论，则说明假设不存在。