1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。

（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。

解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。

（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是1. 距离型问题2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。

解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得2,1428d d =±=± 3.【2018全国3 文20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。

解析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=，因为2121y y k x x -=- 两式相减可得：1212043x x y y k +++= 又因为12121,22x x y y m ++==即12122,2x x y y m +=+=代入上式得 34k m =-，又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）(1,0)F ，设33(,)P x y ，3311220(1,)(1,)(1,)0FP FA FB x y x y x y ++=⇒-+-+-=即3123123()1,()2x x x y y y m =-+==-+=- 因为点P 在椭圆上，代入得34m =，所以33(1,),||22P FP -=因为1||(22x FA x ==-，同理得2||22xFB =- 故121||||4()32FA FB x x +=-+=所以2||||||FP FA FB =+注意：文理科题目相同，但是给出的解题思路是不同的。

4.【2018天津 理19】设椭圆22221x y a b+=的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心A 的坐标为(,0)b，且||||FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ，若||||4AQ AOQ PQ =∠（O 为原点），求k 的值。

解析：（1）由题意知：22222259c a b e a a -===，解得23a b =，又因为||,||FB a AB ==由||||FB AB ⋅=知6ab =，解得3,2a b ==故椭圆方程为22194x y += （2）设1122(,),(,)P x y P x y，则122||,||sin y y PQ AQ AOQ-==∠（得到一个等量关系，然后用k 分别表示出12,y y ）联立22212,21194y kxy kx k y y x y y x k =⎧=⎧⎪⇒=⇒=⎨⎨=-+++=⎩⎪⎩分别代入上式得181k k =+，解得12k =或1128k = 5.【2018江苏 18】如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F 。

（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P（i ）设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； （ii ）直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB ∆，求直线l 的方程。

解析：（1）设椭圆方程为22221x y a b +=，其中c =1)2在椭圆上，故2222223114413a a bb a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y += 又因为圆O 的直径为12F F ，故圆的方程为223x y += （2）（i ）本题有两种解法：法一：椭圆和圆有公切线时求点P 的坐标，可先设公切线方程为y kx b =+ 然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出,k b 的值，再求出点P 的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两次计算相切时的条件。

法二：题目中让求点P 的坐标，不如一开始就设出点P 的坐标，利用点P 的坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立，0∆=即可求出点P 的坐标。

这里我们选用第二种方法：设直线与圆的切点00(,)P x y ，则满足22003x y +=，故直线l 的方程为： 0000()x y y x x y -=--即0003x y x y y =-+联立022*********23(4)24364014x y x y y x y x x x y x y ⎧=-+⎪⎪⇒+-+-=⎨⎪+=⎪⎩ （1）因为直线l 与椭圆有且只有一个交点，故0∆=，即因为点P 位于第一象限，即000,0x y >>，故001x y == 所以点P的坐标为（ii ）分析：第二问由于OAB ∆的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长AB 的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程y kx b =+，根据直线与圆相切可得2233b k =+，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将k 或b 转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：解析：设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，根据直线与圆相切得2233b k =+将2233b k =+7= 注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将b 转化为k 的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。

12|||AB x x =-==解得225,18k b ==所以k b ==y =+ 5.定值问题6.【2018全国1 理】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠分析：第二问两角度相等如何证明？解析几何中常出现的量无非是距离长度，斜率，面积，周长，如果你想到了证明两个角余弦值相等，那么恭喜你，你想到了长度，但是长度不容易求得，本题目M 点在x 轴上且角度均从O 点出发，,A B 两点一个在x 轴上方一个在下方，因此可以考虑两条直线关于x 轴对称，而对称又反应了斜率互为相反数的关系，因此本题目虽是证明题的形式出现，但本质上是求定值问题，即120k k +=解析：（1）由题意知(1,0)F ，当l 与x 轴垂直时，:1l x =，此时(1,2A ±，所以直线AM 的方程为2)y x =- （2）设直线,AM BM 的斜率分别为12,k k当直线l 斜率不存在时，此时直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠当直线l 斜率存在时，设1122:(1),(,),(,)l y k x A x y B x y =-联立2222221(21)42202(1)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩所以1212121212121212(1)(1)[23()4]2222(2)(2)y y k x k x k x x x x k k x x x x x x ---+++=+=+=------ （注意，此处为什么不需要整理分母部分，因为证明分式为零，只需要证明分子为零即可）所以222212122(22)12[4]21210(2)(2)k k k k k k k x x --++++==-- 所以直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠7.【2018全国1 文20】设抛物线2:2C y x =，点(2,0),(2,0)A B -，过点A 的直线l 与C 交于,M N 两点（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠解析：（1）当l 与x 轴垂直时，:2l x =，此时(2,2)B ±，直线BM 的方程为1(2)2y x =±+（2）具体过程可以参考32题，在上题中是分情况讨论直线斜率不存在与存在的情况，其实无需讨论斜率是否存在，可以直接将直线方程设为2x my =+ 设:2l x my =+，直线,BM BN 的斜率分别为12,k k联立21212222402,42x my y my y y m y y y x=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩ 所以12121212121224()022(4)(4)y y my y y y k k x x my my +++=+==++++ 所以直线,AM BM 的倾斜角互补，则OMA OMB ∠=∠8.【2018全国3 理16】已知点(1,1)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90ABM ︒∠=，则k =________.解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切 所以1N M y y ==，设0(,1)N x ，根据焦点弦斜率公式可得000122AB ON AB AB p k k k k x x x ⋅=⇒⋅=⇒= 9.【2018北京 理 19】已知抛物线2:2C y px =经过点(1,2)P ，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,A B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，,QM QO QN QO λμ==，求证：11λμ+为定值。