一、行列式知识概述
一、知识结构框图
概念
性质
行列式 展开 计算
证|A|=0
应用
精品PPT
概念 不同行不同列的元素的乘积的代数和。
性质
经转置行列式的值不变； 互换两行行列式变号； 某行有公因子可提到行列式符号外；
拆成行列式的和； 消法变换。
精品PPT
展开
n
D, 当i j,
aki Akj
k 1
D ij
精品PPT
运算
行 列 式
矩阵
初等变换 和标准形
特殊 矩阵
精品PPT
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
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证|A|=0
AX=0有非零解； 反证法；
R(A)<n; A可逆； |A|= - |A|； A的列向量组线性相关； 0是A的特征值；
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应用
AX=0有非零解； 伴随矩阵求逆法；
克拉姆法则; A可逆的证明； 线性相关(无关)的判定； 特征值计算。
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二、特殊行列式的值
1.三角行列式
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本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
A的行最简形为E. A为初等阵的乘积
r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
A的行(列)向量组线性无关
任一n维向量 都可由行(列)向量组线性表示
A的特征值均不为零 ATA为正定阵.
方阵A与E 相似 A = E P 1 AP E
A正定 i >0 p=n A=PTP k>0
(xi x j )
ni j1
xn1 n
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3.箭式行列式
x1 a2 a3 b2 x2 0 b3 0 x3
bn 0 0
an 0
x1
k
n 2
ak bk xk
0
b2
x2 0
b3
0 x3
xn
bn
00
0
0
( x1
n k2
ak bk xk
)
n k2
xk
xn
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4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
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判断题:
[ ]1.若A2 ,则A .
[ ]2.若A, B为同阶矩阵,则( A B)T AT BT . [ ]3.若A, B为n阶方阵,则( A B)(A B) A2 B2. [ ]4.若矩阵A, B有 AB 0,则 A 0或 B 0. [ ]5.若A, B均为n阶方阵,若 AB 0,则 A 0或 B 0. [ ]6.对于任意矩阵A, B.有 AB BA. [ ]7.若A, B都是n阶方阵,则 AB BA. [ ]8.若A, B, C为同阶可逆方阵,则( ABC)1 C 1B1A1. [ ]9.若A, B, 为同阶可逆方阵,则( A B)1 A1 B1. [ ]10.A与B可交换的必要条件为A, B是同阶方阵.
1
1
1
01
1
0
1
1
c
1
1
1
c1
1
对A做一次行变换 = 用相应的初等矩阵左乘以A 对A做一次列变换 = 用相应的初等矩阵右乘以A
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矩阵等价
• A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB
• 每个矩阵都行等价于唯一一个行最简形矩阵
• A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ
5、若A是n阶矩阵，i (i 1, 2, , n) 是A的n个特征值，则
n
| A | i i 1
6、若A与B相似，则 | A || B |
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行列式的计算（重点）
常用方法：
三角化法
展开降阶法（和消元相结合最为有效）
加边法
归纳法
化为已知行列式（一些有固定形式的行列 式，如：三角形、爪型、“范德蒙”行列式 等）
r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤r(A), r(B)转 置|A源自|=|A|r(AT)=r(A)
取 逆
|A1|=|A|1
n, 若r(A)=n
伴 随
|A*|=|A|n1 r(A*)=
1, 若r(A)=n1
0, 精品PPT 若r(A)<n1
初等变换
行变换
列变换
换法变换
倍法变换
消法变换
对单位矩阵做一次初等变换
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
伴随
(A*)*=|A|n2A*
AA*=A*A=|A|I
其它
A-1=|A|-1A* 当A可逆时，
A*＝|A|A1
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行列式
秩数
加 法
r(A+B)≤r(A)+r(B)
数 乘
|kA|=kn|A|
r(kA)=r(A) (k≠0)
乘 |AB|=|A||
法
B|
a11 a22
* a11
a22
0 a11a22 ann
0
ann *
ann
0
a1n *
a1n
a2(n1)
a2(n1)
n(n1)
(1) 2 a a1n 2(n1) an1
an1
* an1
0
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2.范氏行列式
111
x1 x2 x3
x12
x22
x32
x x x n1
n1
n1
1
2
3
1
xn
xn2
Am O A B Am *
* Bn
O Bn
;
O Am (1)mn A B * Am
Bn *
Bn O .
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三、有关行列式的几个重要公式
1、若A是n阶矩阵，则 | kA | k n | A | 2、若A,B是n阶矩阵，则 | AB || A || B | 3、若A是n阶矩阵，则 | A* || A |n1 4、若A是n阶可逆矩阵，则 | A1 || A |1
•
每个秩数为r的矩阵都等价于
Ir 0
0 0
• 对于m×n矩阵A，B下列条件等价
1. AB，即A可由初等变换化成B 2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
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多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 AB BA E
A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
0,
当i j;
n
D, 当i j,
或
aik Ajk
k 1
D ij
0,
当i j.
其中， ij
1, 0,
i j i j
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计算
数字 型
抽象 型
三角化法； 重要行列式法； 加边法； 递推法。
用行列式性质； 用矩阵性质； 用特征值； 利用矩阵相似。
【热点】注意与矩阵的运算相联系的一些行列式 的计算及其证明.