y
与温度的关系
(dU Ydy) Nd ( ln Z1 ) N ln Z1 dy
y
配分函数Z1是和y的函数，所以ln Z1的全微分为：
d (ln
Z1 )
ln Z1
d
ln Z1 y
dy
ln Z1 y
dy
d
(ln
Z1 )
ln Z1
d
(dU Ydy) Nd ( ln Z1 ) N ln Z1 dy
内能的统计表达式
玻尔兹曼分布：al le l
U
l al
e l ll
l
l
引入配分函数（Partition - Function）：Z1
el l
l
则：N
al
e l l
e Z1
l
l
al
l e l
elel
N Z1
l
e
l
内能的统计表达式
玻尔兹曼分布：al le l
U
U
N
ln Z1
讨论：
N e Z1 ln N ln Z1 ln Z1 ln N
S
Nk (ln
Z1
ln Z1 )
Nk (ln
N
U N
)
k(N ln N N U ) k[N ln N al lal ]
T
T
(dU
Ydy)
Nd (ln
Z1
ln Z1
)
1
kT
dS
1 T
(dU
Байду номын сангаас
Ydy)
1
T
(dU
Ydy)
kNd(ln
Z1
ln Z1 )
S
Nk (ln
Z1
ln Z1 )
S0
S00 S
Nk (ln
Z1
ln Z1 )
S
Nk (ln
Z1
ln Z1 )
熵函数的统计意义
S
Nk (ln
Z1
ln Z1 )
§7.1热力学量的统计表达式
❖ 定域系统和满足经典极限条件的玻色（费米）系 统都遵从玻尔兹曼分布。
❖ 本节将根据玻尔兹曼分布的结果讨论这两类系统 的热力学性质，首先推导出热力学量的统计表达 式。
目录
❖ 一、内能的统计表达式； ❖ 二、广义力的统计表达式； ❖ 三、熵的统计表达式； ❖ 四、自由能的统计表达式； ❖ 五、热力学基本量的求解方法； ❖ 六、经典统计理论中热力学函数的表达式
所以：d~W aldl Ydy。 l
广义力的统计表达式
d~W aldl Ydy
l
Y
l
al
l
y
N Z1
l
el l
l
y
N
Z1 y
l
el l
N
Z1
Z1 y
N
ln Z1 y
Y
N
(
ln Z1 y
)
对于简单系统：y V ,Y p
Y
N
(
ln Z1 y
)
p
N
(
ln Z1 V
广义力的统计表达式
U all dU ldal aldl
l
l
l
ldal :由于粒子分布的改变而引起的内能改变，而粒子数 l
分布的改变是由系统与外界的热交换引起的，所以：
d~Q ldal
l
aldl :由于各能级能量的改变而引起的内能改变，而能级
l
能量的改变是由于系统外参量y的改变（做功）而引起的，
)
与温度的关系
根据热力学基本微分方程： dU Ydy TdS 1 (dU Ydy) dS
T 说明 1 是dU Ydy的积分因子。
T
与温度的关系
dU Ydy Nd ( ln Z1 ) N ln Z1 dy
y
(dU Ydy) Nd ( ln Z1 ) N ln Z1 dy
N
(
ln Z1
)
y
一般来说，粒子的能量是外参量的函数，例如，三维运动
的自由粒子，设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子的能 量可能值为：
1 2m
(
px2
p
2 y
pz2 )
2 22
m
nx2
ny2 L2
nz2
目录
❖ 一、内能的统计表达式； ❖ 二、广义力的统计表达式； ❖ 三、熵的统计表达式； ❖ 四、自由能的统计表达式； ❖ 五、热力学基本量的求解方法； ❖ 六、经典统计理论中热力学函数的表达式
U
l
l al
l
e l ll
e
l
llel
e ( )
l
el l
N Z1
(
)Z1
N
(ln
Z1 )
内能的统计表达式。
l l (y)
Z1
el l
Z(, y)
l
U
N
(ln
Z1 )
N
(
ln Z1
)
y
内能的统计表达式
l l (y)
Z1
el l
Z(, y)
l
U
N
(ln
Z1 )
el l
l
则：N
al
e l l
e Z1
l
l
对于配分函数，从分立到连续：Z1
el l
l
el
d
hr
;
(l
d
hr
)
f
N
e l
N
e l Z1e
1 el Z1
若从 f N e S e eS e
S
S
S
N eS
N Z1
,
Z1
S
eS。
S
以上两种写法一样，但求和范围不同。
y
Nd (
ln Z1
)
Nd
(ln
Z1 )
N
ln Z1
d
Nd
(ln
Z1 )
[ Nd
(
ln Z1
)
N
ln Z1
d
]
Nd (ln
Z1)
Nd (
ln Z1 )
Nd (ln
Z1
ln Z1
)
与温度的关系
也是dU Ydy的积分因子。
1 是dU Ydy的积分因子。 T
可令 1 ,其中k为玻尔兹曼常数：
kT k R 1.38 10 23 J / K
NA
目录
❖ 一、内能的统计表达式； ❖ 二、广义力的统计表达式； ❖ 三、熵的统计表达式； ❖ 四、自由能的统计表达式； ❖ 五、热力学基本量的求解方法； ❖ 六、经典统计理论中热力学函数的表达式
熵的统计表达式
1 d~Q 1 (dU Ydy) dS
目录
❖ 一、内能的统计表达式； ❖ 二、广义力的统计表达式； ❖ 三、熵的统计表达式； ❖ 四、自由能的统计表达式； ❖ 五、热力学基本量的求解方法； ❖ 六、经典统计理论中热力学函数的表达式
内能的统计表达式
玻尔兹曼分布：al le l
U
l al
e l ll
l
l
引入配分函数（Partition - Function）：Z1
l al
e l ll
l
l
引入配分函数（Partition - Function）：Z1
el l
l
则：N
al
e l l
e Z1
l
l
U
l
l al
l
e l ll
e
l
llel
e ( )
l
el l
N Z1
(
)Z1
N
(ln
Z1 )
内能的统计表达式。
内能的统计表达式
第七章 玻尔兹曼统计
第六章近独立粒子的最概然分布
❖ §7.1热力学量的统计表达式 ❖ §7.2理想气体的物态方程 ❖ §7.3麦克斯韦速度分布率 ❖ §7.4能量均分定理 ❖ §7.5理想气体的内能和热容 ❖ §7.6理想气体的熵 ❖ §7.7固体热容的爱因斯坦理论 ❖ §7.8顺磁性固体 ❖ §7.9负温度状态