第一章 集合与常用逻辑用语知识结构【知识概要】一、集合的概念、关系与运算●1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.●2. 集合的表示方法：列举法、描述法. 图示法表示，常用的集合符号，如,,,,,,N N N Z R Q φ*+●3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x 是集合A 的元素，则x A ∈，否则x A ∉。

●4. 集合与集合之间的关系：①子集：若x A ∈，则x B ∈，此时称集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆。

②真子集：若A B ⊆，且存在元素x B ∈，且x A ∉，则称A 是B 的真子集，记作：A B .③相等：若A B ⊆，且A B ⊇，则称集合A 与B 相等，记作A ＝B .。

●5. 集合的基本运算：①交集：{}A B x x A x B =∈∈I 且 ②并集：{}A B x x A x B =∈∈U 或 ③补集：{|,}U C A x x U x A =∈∉且，其中U 为全集，A U ⊆。

●6. 集合运算中常用结论：①,,A A A A A B B A φφ===I I I I ，A B A A B =⇔⊆I 。

②,,A A A A A A B B A φ===U U U U ，A B A B A =⇔⊆U 。

③()U A C A U =U ，()U C A A ϕ=I ，()()(U U U C A B C A C B =I U，()()()U U U C A B C A C B =U I 。

④由n 个元素所组成的集合，其子集个数为2n 个。

真子集个数为2n -1，非空真子集个数为2n -2⑤空集是任何集合的子集，即A ϕ⊆一、选择题1.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M ＝{1,3,5,7}，N ＝{5,6,7}，则∁U (M ∪N )＝( ) A ．{5,7} B ．{2,4} C ．{2,4,8}D ．{1,3,5,6,7}⊂≠2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2}，N ＝{y |y 2＝x ，x ≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．{(0,0)，(1,1)} B ．{0,1} C ．[0，＋∞)D ．[0,1]3．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．44.设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15.集合M ＝{x |x 2－1＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{1}D ．∅6.集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{－1,0,1}二、命题及其关系●1．命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

●2．四种命题的相互关系：●3. “若p 则q ”是真命题，即p q ⇒；“若p 则q ”是假命题，则p q ⇒/。

●4.原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。

●5. （1）①p 是q 的充分不必要条件是指p q ⇒且p q ⇐/；②p 的必要不充分条件是q 是指p q ⇒且q p ⇒/。

（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。

（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；若p 是q的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件。

●6. 证明p 是q 的充要条件（1）充分性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q ； （2）必要性：把q 当作已知条件，结合命题的互为原命题 逆命题 否命题逆否命题若p ，则q 若q ，则p互逆逆否互为 互 否 互 否 互逆,p q ⌝⌝若则 ,q p ⌝⌝若则逆否前提条件，推出p 。

一、选择题1.若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的( ) A ．逆否命题 B ．逆命题 C ．否命题 D ．原命题2．设集合M ＝{x |0＜x ≤3}，N ＝{x |0＜x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2011陕西高考)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b4．已知集合A ＝{x ∈R |12＜2x ＜8}，B ＝{x ∈R |－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．－2＜m ＜25．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，则“a ＝b ”是“sin A ＝sin B ”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．“x ＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件7.给出下列四个结论：①命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0＞0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真； ③函数f (x )＝x －sin x (x ∈R )有3个零点； ④对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x ＞0时，f ′(x )＞0，g ′(x )＞0，则x ＜0时，f ′(x )＞g ′(x )．其中正确结论的序号是______．三、逻辑联结词与量词 ●1．含有“且（∧）”“或(∨)”“非（⌝）”命题的真假性：p ∧q p ∨q ⌝p p 真、q 真 真 真 假 p 真、q 假 假 真 假 p 假、q 真 假 真 真 p 假、q 假假假真●2．全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“∀”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“∃”表示。

含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈。

含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M 中任意一个x ，使()p x 成立”可用符号简记为,()x M p x ∃∈。

●3．全称命题与特称命题的关系：一、选择题1．已知命题“任意a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”则它的否命题是 ( )A ．任意a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0B ．任意a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0C ．存在a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0D ．存在a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤02．“p 或q ”为真命题是“p 且q ”为真命题的 ( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．下列说法错误的是 ( ) A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件Pp 的否定全称命题：,()x M p x ∀∈ 特称命题：,()x M p x ∃∈⌝ 特称命题：,()x M p x ∃∈全称命题：,()x M p x ∀∈⌝C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R使得x2＋x＋1＜0”，则綈p：“任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”5．由命题p：“函数y＝1x是减函数”与q：“数列a，a2，a3，…是等比数列”构成的复合命题，下列判断正确的是()A．p或q为真，p且q为假，非p为真B．p或q为假，p且q为假，非p为真C．p或q为真，p且q为假，非p为假D．p或q为假，p且q为真，非p为真6．已知命题p：函数f(x)＝log0.5(3－x)的定义域为(－∞，3)；命题q：若k＜0，则函数h(x)＝kx在(0，＋∞)上是减函数．则下列结论中错误的是________．①命题“p且q”为真；②命题“p或非q”为假；③命题“p或q”为假；④命题“非p且非q”为假．7．已知命题“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．。