比较 的系数，给出
(0) (0) 0 : ( En (0) Em )cmu 0 (0) (1) (0) (0) ,nv 0 （5.2.8） 1 : ( En(0) Em )cmu En(1)cmu cnv H mu nv
LL
5.2 简并定态微扰论
如果讨论的能级是第 n 个能级，则
5.2 简并定态微扰论
2. 经过重新组合后的零级波函数 n(0) 彼此正交，满足
|
(1) n
(1) n

（5.2.17）
3. 简并微扰法的重要精神在于：重新组合简并态的零 级波函数，使得 H 在简并态所构成的子空间中对 角化。在这样处理后，能级修正公式
ˆ | (0) E(1) n(0) | H n n mu 左乘上式，对全空间积分后，有
(0)*
(0) ,nv Ecm Em cm cnv H mu mu
（5.2.4）
(0) ˆ (0) 其中 Hmu ,nv mu | H | nv
ˆ 表象中的本 ˆ 的本征值和在H 按照微扰论的精神，将H 0 征函数 cnv 按 的幂级数做微扰展开：
当m n 时，得能级的一级修正为
,nv 0 En(1) au av Hmu
v
v
（5.2.12）
5.2 简并定态微扰论
为书写方便，记同一能级En(0) 中，不同简并态 u , v 之间 ,nv 为 Hu 的矩阵元 Hmu ,v ，则上式可写为：
(1) ( H E uv n uv )av 0 v 1 fn
5.2 简并定态微扰论
除一维束缚态外，一般情况下能级均有简并。简并微 扰比非简并微扰更具普遍性。
(0) ˆ f E 假定 H0 的第 n 个能级 En 有 n 度简并，即对应于 n (0) nv (v 1,2,3L ) 。现在的问题是， 有 f n 个本征函数
我们不知道在这 f n个本征函数中应该取哪一个作为微 扰的本征函数。因此，简并微扰的首要问题是：如何 选择适当的零级波函数进行微扰计算。
ˆ 的本征方程是 设H 0
(0) (0) (0) ˆ H0 nv En nv
（5.2.1）
5.2 简并定态微扰论
归一化条件为
(0) (0) (0)* (0) mu | nv mu ( x ) nv ( x )dx mn uv
(0) 由于 是完备系，将 按 nv 张开后，得
(0) nv
ˆ 的本征方程是 H ˆ ( H ˆ H ˆ ) E H 0
(0) cnv nv nv
（5.2.2）
则 H的本征方程是
(0) (0) ˆ c E cnv H nv Ecnv nv （5.2.3） (0) nv n (0) nv nv nv nv
5.2 简并定态微扰论
(0) (0) n a v nv v (0) (1) En En En
（5.2.15） （5.2.16）
由此可见，新的零级波函数实际上是原来第 n 个能级上 的各简并本征函数的线性叠加。 下面我们对上述结果作一些说明： 1. 前面讨论过，简并来自对守恒量的不完全测量。 (0) 由上式可见，无微扰的能级 En 经微扰后裂为 f n (0 ) 条。它们的波函数由各自相应的 n 表示。这时 简并完全消失。
(0) (0) ( En(0) Em )cmu 0
（5.2.9）
即 （5.2.10） au是一个待定的常数。在由一级近似的薛定谔方程得
(0) (1) ,nv 0 （5.2.11） ( En(0) Em )cmu En(1) au mn a Hmu
(0) cmu au mn
（5.2.13）
上式是一个以系数 av 为未知数的线性方程组，它有非 零解的条件为：
En (1) uv 0 det H uv
（5.2.14）
这是个 f n 次的久期方程。由这个久期方程可以解出E (1) (1) 的 fn 个根 En ，将这 f n 个根代入线性方程组，可得出相 应的 f n 组解 a v ，从而给出零级波函数和能量本征值 的一级修正，他们分别为：
与非简并微扰公式完全相同。
（5.2.18）
5.2 简并定态微扰论
4. 在非简并情况下，由一级微扰确定一级波函数和 能量修正，二级微扰来确定二级波函数和能量修 正，但在简并微扰情况下，由一级微扰确定零级 近似波函数和一级能量修正，二级微扰确定一级 近似波函数和二级能量修正。
En En (0) En (1) 2 En (2) L
（5.2.5）
(0) (1) (2) cnv cnv cnv 2cnv L
（5.2.6）
5.2 简并定态微扰论
将展开式代入（5.2.4）式有：
(0) (0) (1) (2) (0) (1) (2) ,nv Em ( cmu cmu 2 cmu L ) ( cnv cnv 2 cnv L )H mu nv (0) (1) (2) ( En (0) En (1) 2 En (2) L )( cmu cmu 2 cmu L （ ) 5.2.7）