r a1
ˆ eEz eEr cos 视弱外场为微扰 H
( 0 )* ˆ (0) * H k' 1 nlm H 100 d RnlYlm eEr cosR10Y00 r 2 drd
eE * 3 R Y R Y r nl lm 10 10 drd 3 eE eE 3 Rnl R10 r dr l1 mo Anl l1 mo 3 3
( 0 )* ˆ ( 0 ) ( 0) ( 2) (1) (1) (1) ( 2) ( H E ) d a H E a E l nl n l nl n n n n
E
( 2) n
H nl | H ln | H nl ( 0) a H nl ( 0) ( 0) ( 0) E E E E l n l n l n n l n l
3 A R R r 其中 nl nl 10 dr
可见，一级微扰 E 二级微扰 E1( 2)
(1) 1
0 （k=(1,0,0)） H11
2 Anl (0) (0) E E n 1 1 k
| H k' 1 |2 e 2 2 ( 0) (0) 3 n 1 l , m E1 Ek
ˆ ( 0) H 2 d 2 1 2 2 x 2 2 dx 2
ˆ qEx H
先计算微扰矩阵元：
12 12 m (qEx ˆ ) n m (qE( ˆa ˆ )) n qE( ˆa ˆ ) n H mn ) (a ) m (a 2 2 12 qE( ) ( m n n 1 m n 1 n 1 ) 2 12 qE( ) ( n m, n 1 n 1 m, n 1 ) 2
k
（5.15）
上式是以系数 c 为未知量的一次奇次方程组， 它有不全为零的解的条件是：
En(1) H11 H12 En(1) H 21 H 22 H k1 H k 2 H1k k H2 0
(0) i
En(1) H kk
解这个方程可以得到能量 En(1) 一级修正的
第5章 近似方法
由于Schrö dinger方程的复杂性， 只有少数几个问题能精确求解，大 部分情况下只能采用近似方法求解。 本章主要介绍用Schrö dinger方程求 解实际物理问题的近似方法。
主要内容：
§5.1非简并定态微扰理论
线性谐振子和基态氢原子的极化
§5.2 简并定态微扰理论 Stark效应 §5.3 变分法 氦原子基态 §5.4 与时间有关的微扰论 跃迁概率 §5.5 光的发射和吸收 选择定则
2

q2E 2 2 2
从而有
En E
( 0) n
E E
(1) n
( 2) n
1 q2 E 2 (n ) 2 2 2
q2E 2 2 2
上式表明，能级整体向下移动了
但此移动与n无关，即与振子的状态无关。
波函数的一级微扰
12 qE( ) ( n m,n1 n 1 m,n1 ) ' H mn 2 (1) ( 0) ( 0) n (0) (0) m m (0) (0) En Em m n En Em m n 1 12 ( 0) ( 0) qE( ) ( n n 1 n 1 n 1 ) 3 2 qE ( 0) ( 0) ( n 1 n n 1 n 1 ), ( n 1) 3 1/ 2 (2 )
（5.6）
注意，若
(1) n
是(5.6)的解，则

(1) n

( 0) n
也同样是(5.6)的解。
非简并情形,一级修正：
( 0 )* ˆ ( 0 ) (0) (1) (1) ( 0 )* ( 0 ) ( 0 )* ˆ (0) ( H E ) d E d H n n n n n n n n d
( 0) n
' mn
(1) m
a H /(E
(1) m ' mn
E )
( 0) m
代入(5.9)有
H ( 0) (0) (0) m m n En Em
(1) n
（5.10）
二级修正： 以
( 0 )* n
左乘（5.7）两边，并对整个空间积分，得：
l n l n 2

(1) 0
qE ( 0) 1 (2 3 )1/ 2
无电场时 谐振子的能量本征态具有确定的宇称，故
x n xn 0
有外电场时
x n xn qE 12 ( ) ( n n 1 n 1 n) 3 1/ 2 (2 ) 2 qE 2
n n n n n
ˆ E H n n n （0) ˆ ˆ ） ＝E 或 （H ＋H n n n ˆ 很小，可视为微扰。 H 微扰使得: E (n0) E n
(n0) n
（5.1）
En E E E （5.2） 令 (0) (1) ( 2) （5.3） n n n n
2 2 es2 2 r
讨论能级 n＝2 ：
本征值： E2(0)
es2 2 2 2 2 2 8 8a1
es4
es4
本征函数（四个简并态）：
r 1 1 3/ 2 r 2 a1 ( ) ( 2 )e 1 200 a1 4 2 a1 r 1 1 3 / 2 r 2 a1 ( ) ( )e cos 2 210 a1 4 2 a1 r 1 ( 1 )3 / 2 ( r )e 2 a1 sin ei 211 3 a1 8 a1 r 1 1 r 2 a1 3/ 2 i ( ) ( ) e sin e 211 4 a1 8 a1
ˆ 很小的含义为 H
例题5.1 线性谐振子的极化 电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场E作用， 电场沿正x方向。用微扰求体系的定态能量和 波函数。 2 2 d 1 2 2 ˆ x qEx 解：体系的Hamilton算符是 H 2
2 dx 2
在弱场情况下，最后一项可看成微扰，即

( 0) ˆ E H n (1) ( 0) n n
( 0) (1) ( 0 )* ˆ ( 0) ' El(0)al(1) ml En a H d H l ml m n mn
H
' mn
(E
( 0) n
E )a
( 0) m
0 可以得出，能级的一级微扰 H nn
能级的二级微扰
E
( 2) n
|2 | H nm (0) ( 0) m n E n Em m n
2
| qE(
2
) 2 ( n m,n 1 n 1 m,n 1 ) |2
(0) (0) En Em
1
n n 1 n n 1 2 2 q E ( )[ ( 0) (0) ]q E ( )[ ] (0) (0) 2 En En 1 En En 1 2
E
(1) n

( 0 )* n
(0) ˆ H n d
(1) (1) (1) ( 0) （5.9） 再求 n 令 n al l
代入（5.6），得
l n
E
l n
l n
( 0) (1) ( 0) l l l
a E
( 0) n
a
l n
l n
(1) ( 0) l l
ˆ (H
( 0)
E )
( 0) n
(1) n
E
(1) n
( 0) ˆ c c i H i i 1 ( 0) i i i 1
k
k
* 以 l 左乘（5.7）两边，并积分，得：
(1) ( 0) ˆ ( H E ) c li n li i 0, l 1,2,, k. i 1
令两边同极小量相等，可得到一系列方程如下： ( 0) ( 0) ( 0) ˆ (H E n ) n 0 （5.5）
( 0) ( 0) (1) (1) ( 0) ˆ ˆ (H En ) n (H En ) n
( 0) ( 0) ( 2) (1) (1) ( 2 ) ( 0) ˆ ˆ (H En ) n (H En ) n En n （5.7）
(1) E k个根 nj , j 1,2,3,
(1) E 若 n 的k个根都不相等，则一级微扰可以将
( 0) (1) E E E k度简并完全消除 n n nj
若 En(1) 有几个重根，则一级微扰只能将k度简并 部分消除，必须进一步考虑能量的二级修正， 才有可能使能级完全分裂开来。 (1) 确定零级近似波函数，可以将 Enj 的值代入(5.15) 解出一组ci( 0) ，再代入（5.14）即得。

即平衡位置偏离了 ，因此，由于外
2
qE
电场而产生的电偶极矩为
p | q |
|q|E

2

q2E
2
例题5.2 基态氢原子的极化 基态的氢原子处于沿z方向的均匀弱外电场 E中，试求基态波函数的一级修正和能量的 二级修正。 解：无外场时，氢原子的基态波函数和能量为 4 e 1 (0) 100 e , E1( 0 ) s2 2 a13
(1) l
综上，有
2 | H | ( 0) ( 0) nm ( 0) En En H nn Em m n En ' H mn ( 0) ( 0) n n (0) (0) m m n En Em