qi = Kq q 2 ∧ q n
a 1 b
p
指数法的应用
粘性流体中运动物体所受的阻力 R ，影响它的因素有物 体的长度 L ，运动速度 v ，流体的密度 ρ 以及流体的动力粘 试确定它们之间的关系式。 性系数 µ ，试确定它们之间的关系式。 由题意有如下的关系式 R = f ( µ , ρ , v, L ) 由指数法有
由动力相似条件应有：
( Fp ) m
( Ft ) m ( Fl ) m = = = = = CF ( Fp ) p ( Fµ ) p ( Fg ) p ( Ft ) p ( Fl ) p
( Fµ ) m
( Fg ) m
直接影响流动的力是惯性力， 直接影响流动的力是惯性力，它力图维 持原有的流动状态； 持原有的流动状态；其它各力是流体受到的 外力，它们力图改变流动状态。 外力，它们力图改变流动状态。流动的变化 就是惯性力与其它各力相互作用的结果。 就是惯性力与其它各力相互作用的结果。因 此，将迁移惯性力与其它各力进行比较就可 得到四个相似准数。 得到四个相似准数。
CR ≡
R 1 2 2 ρv L 2
= f 1 (Re)
1.要确定实物的阻力大小，需按Re数相似准则进行实验； 2.实验时只需改变速度的大小就能确定的CR－Re关系曲线图， 然后换算到实物即可得到实物的阻力。
2. П定理
若一个物理现象可由 n 个物理量构成的 物理方程式描述， 个物理量中选取m 物理方程式描述，在n个物理量中选取m个基 本物理量，则该物理现象可用这n 本物理量，则该物理现象可用这n个物理量构 成的（ 个无量纲量来描述。 成的（n－m）个无量纲量来描述。 利用П定理可以使物理量函数关系式转 利用 定理可以使物理量函数关系式转 变为无量纲数的函数关系式，减少变量， 变为无量纲数的函数关系式，减少变量，从 而减少实验量。 而减少实验量。
为了合理地选择实验变量， 为了合理地选择实验变量， 同时又能使 实验结果具有普遍适用价值， 实验结果具有普遍适用价值 ， 一般需要将 物理量之间的函数式转化为无量纲数之间 的函数式。 的函数式 。 用无量纲数之间的函数式所表 达的实验曲线具有更普遍的使用价值。 达的实验曲线具有更普遍的使用价值。 因此，量纲分析至少有两方面的好处： 因此， 量纲分析至少有两方面的好处： 第一， 实验变量的数目减少了， 第一 ， 实验变量的数目减少了 ， 可以节省 大量的时间、 人力和财力； 第二， 大量的时间 、 人力和财力 ； 第二 ， 按无量 纲参数整理的实验结果可以直接用于实物 上去。 上去。
二、相似准则 特征物理量：如密度ρ、速度v、长度L、粘性系数 特征物理量 µ、压力p、加速度g和时间t等。 由NS方程可以看出，单位质量的各力可用这些特征 物理量的量级表示如下： 压力 质量力
p Fp ∼ ρL
Fg ∼ g
粘性力 Fµ ∼ µ v 2 ρL
局部惯性力
v Ft ∼ t
v2 迁移惯性力 Fl ∼ L
在动力相似的条件下，对应的流体动力系数（压力 动力相似的条件下，对应的流体动力系数（
系数、升力系数和阻力系数）相等。 系数、升力系数和阻力系数）相等 无因次的流体动力系数CP数定义如下： P CP = 1 2 ρv S 2 对两动力相似系统：
CPm =
Pm
1 1 2 2 2 ρ m vm Sm Cρ ρ P Cv vP CS S P 2 2 CF CF PP = CPp = 2 2 Cρ Cv CS Cρ Cv CS 1 ρ v 2 S P P P 2
3 lm CV = 3 = Cl3 lp
长度比尺是基本比尺，面积比尺和体积比尺 长度比尺是基本比尺 是导出比尺。导出比尺与基本比尺的关系为 导出物理量量纲与基本物理量间的关系。
2.运动相似 运动相似
——流动的速度场相似。即满足几何相似的两系统 对应瞬时、对应点上的速度方向相同，大小成同一 比例。
速度比尺 时间比尺 加速度比尺
R = Kµ a ρ b v c Ld
等式两边写成量纲方程 [ R] = [ µ ]a [ ρ ]b [v]c [ L] d
MLT −2 = [ ML−1T −1 ] a [ ML−3 ]b [ LT −1 ]c [ L] d = M a +b L− a −3b + c + d T − a −c
指数法的应用
∆mm ∆mm lim ∆m p ρ m ∆Vm →0 ∆Vm = = lim Cρ = ∆m p ∆Vm →0 ∆Vm ρp ∆V p → 0 lim ∆V p → 0 ∆V ∆V p p ∆Gm ∆g m ∆G p ∆g p CF Ca CF Ct2 = lim = = 4 ∆Vm → 0 ∆Vm CV Cl ∆V p → 0 ∆V p
5.2.1 单位和量纲
量纲(dimension) 量纲(dimension)
量纲[ ]：物理量测量单位的类别。 量纲[ ]：物理量测量单位的类别。
[X ] = M L T
a b
c
Байду номын сангаас
(5.2.1)
压力[p] 压力 ML-1T-2
动力粘性 系数[µ] 系数 运动粘性 系数[ν] 系数
流体力学中常见物理量的量纲： 流体力学中常见物理量的量纲：
第 5 章 相似理论和量纲分析
5.1 相 似 理 论
一、力学相似的基本概念 1.几何相似 几何相似
——模型与实物几何形状相似。即两系统对应的 长度成同一比例，且对应角相等。
m m
p p
即两个系统的对应长度成同一比例，且对应角相等。
长度比尺 面积比尺 体积比尺
lm Cl = lp
2 lm 2 CS = 2 = Cl lp
1.傅汝德数相等 傅汝德数相等 ——用于重力起主要作用，粘性力可忽略的 场合。相似准则为Fr，有：
v 惯性力 ∝ Fr = gl 重力
2
2
2.雷诺数相等 2.雷诺数相等 ——用于粘性力起主要作用，重力影响很小， 可忽略的场合。相似准则为Re，有：
惯性力 Re = ∝ ν 粘性力 vl
例5.1 一潜艇长为L＝78m，水面航速为13kn,现用1： 50的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定 水池拖车的拖曳速度。 解：实验应按傅汝德准则进行。 已知船模长度： m = 1/ 50 × 78 = 1.56m L 实艇水面航速为：v p = 13 × 0.515 = 6.7m/s
那么如何来组成无量纲数呢？下面介绍量纲分析的具 那么如何来组成无量纲数呢？ 体方法，一种称为指数法，适用于比较简单的问题； 体方法，一种称为指数法，适用于比较简单的问题；另 一种称为П定理 是一种具有普遍性的方法。 定理， 一种称为 定理，是一种具有普遍性的方法。
1. 指数法 基本原理：某物理过程与几个物理量有关： 基本原理：某物理过程与几个物理量有关：
=
CF PP
2 CF Cρ CF Ct = = =1 2 4 Cρ Cv CS Cρ Cl Cρ
因此有
CPm = CPp
两流动系统相似除应具有以上三个相似条件外， 还要求初始条件和边界条件一致。 几何相似是流动相似的基础， 一般来说，几何相似是流动相似的基础，动力 几何相似是流动相似的基础 相似则是决定两流动相似的主导因素， 相似则是决定两流动相似的主导因素，运动相 似是几何相似和动力相似的表现。 似是几何相似和动力相似的表现
四个相似准数 雷诺数 傅汝德数
惯性力 Re = ∝ ν 粘性力 2 2 v 惯性力 ∝ Fr = gl 重力 vl
主要反映 粘性力相似 主要反映 重力相似
vt 迁移惯性力 主要反映非定 斯特洛哈尔数 St = ∝ L 局部惯性力 常运动相似
欧拉数
p 压力 Eu = 2 ∝ ρv 惯性力
主要反映 压力相似
等式两边的各量纲的指数应相等，于是有
a +b =1 − a − 3b + c + d = 1 − a − c = −2
b = 1− a
c = 2−a
d = 2−a
µ a ) = Kρv 2 L2 Re − a ρvL
R = Kµ a ρ 1− a v 2− a L2− a = Kρv 2 L2 (
二、相似准则 与动力有关的--》 粘性不可压缩流体的基本方程 式（2.4.6 ) （第59页）NS方程
∂v f − ∇p + ν ∇ v = + ( v ⋅ ∇ )v ρ ∂t 1
2
∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x 1 ∂p +ν ( 2 + 2 + 2 ) = fx − + vx + vy + vz ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p fy − +ν ( 2 + + 2 )= + vx + vy + vz 2 ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v z ∂v z ∂v z ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz ∂v z 1 ∂p fz − +ν ( 2 + 2 + 2 ) = + vx + vy + vz ρ ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
vp gl p
=
vm glm lp
故实验时船模的拖曳速度为： = v lm = 0.95m/s vm p
5.2.1 单位和量纲 时间t的单位：秒、分、小时等。 的单位： 小时等。 量纲： 量纲：物理量测量单位的类别 基本量纲：长度 ，时间[T]，质量[M] 基本量纲：长度[L]，时间 ，质量 导出量纲： 导出量纲：[X] 无量纲量或无量纲数
•
对于完全相似的流动现象，必定有： Rem=Rep；Frm=Frp； Stm=Stp； Eum=Eup 。