与圆有关的轨迹方程
的求法
与圆有关的轨迹方程的求法
若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：
⎩
⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α)
,(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.
例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程.
【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ).
∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴
3
1||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分PA 的比为31
.
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即 又因2020y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622
=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16
9)43
(22>=+-y y x . 例3、已知圆,422=+y x 过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ）
A ．4)1(22=+-y x
B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x
C ．4)2(22=+-y x
D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x
变式练习
1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且
MB AM 3
1=，则点M 的轨迹方程是 解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(3
1),(11y x y y x x --=--， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴
12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即16
9)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是16
9)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .
解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴3
1==OB OA MB AM ， ∴MB AM 3
1=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.
解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，
∴点M 的坐标为)2
,2(y x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12
(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .
4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是
5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x
Ｃ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(2
2=++-y x 6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）
A B 4 C 8 D 9
7：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为2
1，求点M 的轨迹方程.
8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．
分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．
解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ，
则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥，
所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．
所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.
,2''x x y y 又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，
所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．
说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．
9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．
分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．
解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，
在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2
,2(
b y a x M ++． 由222OA AM OM =+，即 22222])()[(4
1)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．
解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22
121r y x =+，
22222r y x =+． 又2
2AB PQ =，即
)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．① 又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即
)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②
①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．
这就是所求的轨迹方程．
解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ，
由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有
βαcos cos r r a x +=+， ①
βαsin sin r r b y +=+， ② 又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--a
r b r a r b r ββαα ③
联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为
)(222222b a r y x +-=+．
说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．
10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .
解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴
222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .
练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.
解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PB PA ，得a y c x y c x =+-++222
2)()(，
化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .
当1≠a 时，化简得01)1(22222
2=+-+++c x a a c y x ，整理得222222
)1
2()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .
所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,1
1(22
c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆； 当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.
11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于
解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.。