弹簧问题专题训练类型一静力学问题中的弹簧如图所示,四处完全相同的弹簧都处于水平位置,它们的右端受到大小皆为F 的拉力作用,而左端的情况各不相同:①中的弹簧的左端固定在墙上②中的弹簧的左端也受到大小也为F 的拉力的作用③中的弹簧的左端拴一小物块,物块在光滑的桌面上滑动④中的弹簧的左端拴一个小物块,物块在有摩擦的桌面上滑动.若认为弹簧的质量为零,以L 1、L 2、L 3、L 4依次表示四个弹簧的伸长量,则有：( ) DA ．L 2>L 1B ．L 4>L 3C ．L 1>L 3D ．L 2=L 4类型二在弹簧弹力作用下瞬时加速度的求解如图所示,竖直放置在水平面上的轻弹簧上叠放着两物块P 、Q,它们的质量均为2kg ,均处于静止状态.若突然将一个大小为10N 、方向竖直向下的力施加在物块P 上,则此瞬间,P 对Q 压力的大小为（g 取10m/s 2）：( ) CA.5NB.15NC.25ND.35N.类型三物体在弹簧弹力作用下的动态分析如图所示，一劲度系数为k =800N/m 的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m =12kg 的物体A 、B 。

物体A 、B 和轻弹簧竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F 在上面物体A 上，使物体A 开始向上做匀加速运动，经0.4s 物体B 刚要离开地面，设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g =10m/s 2 ，求：（1）此过程中所加外力F 的最大值和最小值。

（F 1＝45N ，F 2＝285N ）（2）此过程中外力F 所做的功。

（49.5J ）类型四物体在弹簧弹力作用下的运动分析A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s 2）.（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对木块做的功.类型五传感器问题两个质量不计的弹簧将一金属块支在箱子的上顶板与下底板之间,箱子只能沿竖直方向运动,如图所示,两弹簧原长均为0.80m,劲度系数均为60N/m.当箱以a=2.0m/s 2的加速度匀减速上升时,上、下弹簧的长度分别为0.70m 和0.60m(g=10m/s 2).若上顶板压力是下底板压力的四分之一,试判断箱的运动情况。

类型六连接体弹簧中的动力学问题如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板。

○3 ○4 ○2 ○1 F F F F F 图一系统处一静止状态，现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。

（k g m m dB A θsin )(+=）类型七连接体弹簧中弹性势能问题如图，质量为m 1的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m 2的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。

一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。

开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。

现在挂钩上升一质量为m 3的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。

若将C 换成另一个质量为13()m m +的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B 刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。

k m m g m m m v )2()(2312211++=变式：如图所示，光滑水平面上有A 、B 、C 三个物块，其质量分别为m A =2.0kg ，m B =1.0kg ，m C =1.0kg ，现用一轻弹簧将A 、B 两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A 、B 两物块靠近，此过程外力做功108J （弹簧仍处于弹性范围），然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C 恰以4m/s 的速度迎面与B 发生碰撞并瞬时粘连。

求：（1）弹簧刚好恢复原长时（B 与C 碰撞前），A 和B 物块速度的大小。

6/,12/A B v m s v m s ==（2）当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能。

（50J ）类型八弹簧综合题中的机械能守恒质量为m 的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地面，平衡时弹簧的压缩量为x 0，一物块从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，和钢板相碰后共同向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动，若物块质量也为m 时，它们恰好不分离。

若物块质量为2m ，仍从A 处自由下落，则物块回到弹簧原长处O 点时还有速度，求：物块向上运动到达的最高点与O 点（弹簧的原长位置）的距离。

（h=21x 0）类型九用功能关系解决弹簧问题如图所示，长木板ab 的b 端固定一挡板，挡板上固定一原长为l 0的轻弹簧，木板连同挡板的质量为M ，a 、b 间距离为s ，木板位于光滑水平面上。

在木板a 端有一小物块，其质量为m ，小物块与木板间的动摩擦因数为μ，它们都处于静止状态。

现令小物块以初速v 0沿木板向前滑动，直到和弹簧相碰，碰后小物块又返回并恰好回到a 端而不脱离木板。

求：（1）弹簧的最大弹性势能。

（()MmmMvEEP+=∆=∆4212）（2）弹簧的最大形变量。

（x =()gMmMvμ+42+ l0－s）类型十恒定电流中的弹簧的应用角速度计可测量飞机、航天器等的转动角速度，其结构如图所示。

当系统OO/转动时，元件A发生位移并输出电压信号，成为飞机、航天器等的制导系统的信号源。

已知A的质量为m，弹簧的劲度系数为K、自然长度为L，电源的电动势为E、内阻不计，滑动变阻器总长度为l。

电阻分布均匀，系统静止时P在B点，当系统以角速度ω转动时，请导出输出电压U和ω的函数式。

()(22ωωmKlmLEU-=)类型十一电磁感应中的弹簧问题如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直．磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0．在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．(1)求初始时刻导体棒受到的安培力．（22L v BFR=，水平向左）(2)若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E p，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻R上产生的焦耳热Q1分别为多少? （21012pQ mv E=-）(3)导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少? （212Q mv=）例如图3－5，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。

现将子弹、木块和弹簧合在一起作研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中[ ]A．动量守恒，机械能守恒B．动量不守恒，机械能不守恒C．动量守恒，机械能不守恒D．动量不守恒，机械能守恒【分析解答】以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。

在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒。

由于子弹射入木块过程，发生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒，故B正确。

例质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。

平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图3-15所示。

物块从钢板正对距离为3X0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。

已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O点的距离。

【分析解答】物块从3x0位置自由落下，与地球构成的系统机械能守恒。

则有v0为物块与钢板碰撞时的的速度。

因为碰撞板短，内力远大于外力，钢板与物块间动量守恒。

设v1为两者碰撞后共同速mv0=2mv1(2)两者以v l向下运动恰返回O点，说明此位置速度为零。

运动过程中机械能守恒。

设接触位置弹性势能为E p，则同理2m物块与m物块有相同的物理过程碰撞中动量守恒2mv0=3mv2(4)所不同2m与钢板碰撞返回O点速度不为零，设为v则因为两次碰撞时间极短，弹性形变未发生变化E p=E’p(6)由于2m物块与钢板过O点时弹力为零。

两者加速度相同为g，之后钢板被弹簧牵制，则其加速度大于g，所以与物块分离，物块以v竖直上抛。

例如图3-18所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程中A．重力先做正功，后做负功B．弹力没有做正功C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势能最大。

【分析解答】要确定金属块的动能最大位置和动能为零时的情况，就要分析它的运动全过程。

为了弄清运动性质，做好受力分析。

可以从图3-19看出运动过程中的情景。

从图上可以看到在弹力N ＜mg 时，a 的方向向下，v 的方向向下，金属块做加速运动。

当弹力N 等于重力mg 时，a=0加速停止，此时速度最大。

所以C 选项正确。

弹力方向与位移方向始终反向，所以弹力没有做正功，B 选项正确。

重力方向始终与位移同方向，重力做正功，没有做负功，A 选项错。

速度为零时，恰是弹簧形变最大时，所以此时弹簧弹性势能最大，故D 正确。

所以B ，C ，D 为正确选项。

例 A 、B 球质量均为m ，AB 间用轻弹簧连接，将A 球用细绳悬挂于O 点，如图示，剪断细绳的瞬间，试分析AB 球产生的加速度大小与方向.分析：开始A 球与B 球处于平衡状态，其受力图示见右：剪断绳OA 瞬间，A 、B 球均未发生位移变化，故弹簧产生的弹力kx 也不会变化，kx ＝mg ，所以剪断绳瞬间，B 受力没发生变化，其加速度a B ＝0；A 球受到合外力为kx ＋mg ，其加速度a A ＝m mg kx +＝2g 竖直向下. 试分析，将上题中绳与弹簧位置互换后悬挂，将绳剪断瞬间，AB 球加速度的大小与方向？（a A ＝g ，竖直向上；a B ＝g ，竖直向下）例 光滑斜面倾角θ＝30°，斜面上放有质量m ＝1kg 的物体，物体用劲度系数K ＝500N/m 的弹簧与斜面连接，如图所示，当斜面以a ＝3m/s 2的加速度匀加速向右运动时，m 与斜面相对静止，求弹簧的伸长？分析：对m 进行受力分析水平方向：设弹力为FFcos θ－Nsin θ＝ma (1)竖直方向：Fsin θ+Ncos θ－mg ＝0 (2)由（1）、（2）式可得 F ＝οοοο3030sin 30cos 30tg ma mgtg ++＝6.5N所以，弹簧伸长x ＝F/K ＝5005.6＝1.3×10－2米例 用木板托住物体m ，并使得与m 连接的弹簧处于原长，手持木板M 向下以加速度a （a<g ）做匀加速运动，求物体m 与木板一起做匀加速运动的时间.分析：m 在与M 一起向下做匀加速运动过程中，m 受到弹簧的弹力不断增大，板M 对m 的支持力不断减小，重力保持不变.m 与板M 分离的条件为板M 对m 的支持力N 恰好为零，且m 与M 运动的加速度恰还相等（下一时刻将不再相等）.设：m 与M 分离经历t 时间，弹簧伸长为x ：mg －kx ＝ma∴x ＝k a g m )(-又因为：x ＝21at 2∴t ＝a a g m )(2-例 质量为m 的物体A 压在放在地面上的竖直轻弹簧B 上，现用细绳跨过定滑轮将物体A 与另一轻弹簧C 连接，当弹簧C 处在水平位置且右端位于a 点时，它没有发生形变，已知弹簧B 和弹簧C 的劲度系数分别为k 1和k 2，不计定滑轮、细绳的质量和摩擦，将弹簧C 的右端由a 点沿水平方向拉到b 点时，弹簧B 刚好没有形变，求a 、b 两点间的距离.答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2111K K mg解析：θθ.,,111X m B K mg X B ∆=∆上升距离为无形变时当弹簧被压缩长度开始弹簧弹簧C 弹力⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆+∆∴=∆=∆2112222211,K K mg X X b a K mg X mgX K 间距离为【例3】如图所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为m 1和m 2的木块1和2，中间用一原长为l 、劲度系数为k 的轻弹簧连结起来，木块与地面间的滑动摩擦因数为μ。