习题6.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2．将二次型2221231231223(,,)32810f x x x x x x x x x x =+-+-表成矩阵形式，并求该二次型的秩.3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ，B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得B =TC A C ．4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同.习题6.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形.3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形2221236,,f y y by a b =++求的值与所用正交变换.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++6．在二次型f （x 1，x 2，x 3 ）=213232221)()()(x x x x x x -+-+-中，令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=133322211xx y x x y x x y 得f =232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定f 的秩.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.习题6.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x1122． a 为何值时，实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.21013. 020,(),101A B kE A k B k B ⎛⎫ ⎪==+ ⎪ ⎪⎝⎭ΛΛ设矩阵其中为实数.（1）求对角阵，使与相似；（2）求参数的值，使为正定矩阵.习题六 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为.3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为.4．二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为.5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为. 6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 .7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为.8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a =. 9．当t 满足, 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的. 10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a =.二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 3. , T T Tn f X AX A A X CY f Y BY ====如果元二次型（其中）可经可逆线性变换化为则下列结论不正确的是（）.(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n (D) A 合同于单位矩阵22212312323123 (,,)(2)(23)(3)( ).() 1 () 1 () 1 ()1f x x x x ax x x x x x ax A a B a C a D a =+-+++++<-≠-≠>6.二次型正定的充要条件是7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ). (A)1 (B) -1 (C) 2 (D)-2 9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.222123123121323123(,,)55266 2.(1);(2)(,,)1f x x x x x cx x x x x x x c f x x x =++-+-=2. 已知二次型的秩为求和二次型矩阵的特征值指出方程表示哪种二次曲面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型. 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换1123212331232221231(22)31 (22)31(22)342,x y y y x y y y x y y y f y y y ⎧=++⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=-+⎪⎩=+-化为了标准形求该二次型。

5．设A 是n 阶对称矩阵，如果对任一n 维向量X ，都有f=X T AX=0,证明A=O .6．设f =TX A X 为n 元实二次型，λ与μ分别为其矩阵A 的最大特征值与最小特征值，证明对任一实n 维向量X ，总有μTX X ≤TX A X ≤λTX X ．7．试证：若A 是n 阶方阵，则TA A 是半正定矩阵．8．设A 为n 阶实对称矩阵且满足A A A ++23= 3 E ，证明A 是正定矩阵． 9．设实对称矩阵A 与B 合同，若A 是正定矩阵，证明B 是正定矩阵. 10．设A 是实对称矩阵．证明：当实数t 充分大时，t E ＋A 是正定矩阵. 11．设B 为可逆矩阵，A =B T B ,证明f =TX A X 为正定二次型.。