2 1 2 1 P P 取正交矩阵 1 2 2 1 P 2 P 3 3 2 1 2 则得所欲求的正交变换
即
x1 2 1 y1 2 1 x2 3 1 2 2 y 2 2 1 2 x y3 3
(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P 1 1 3 2
2 1 P2 2 3 1
1 1 P3 2 3 2
(3) 写出正交变换
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n ( x1 , x2 ,, xn ) an1 x1 an 2 x2 ann xn
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 a12 a1n x1 a22 a2 n x2 an 2 ann xn
令B C AC , B diag (k1 , k2 ,, kn )
T
矩阵的合同： 两个 n 阶方阵A、B , 若存在可逆矩阵 C ,
使得 B C T AC , 则称 A 合同于 B .
记作 A B 定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则
(1) B C T AC 仍是对称矩阵 ( 2) r ( B ) r ( A)
（4）
写出
的标准型。 后所得二次型的标准型
易知经上述正交变换
2.
解

2 f x1 , x2 , x3 x12 4 x2 x32 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
二次型的矩阵为
1 2 4 A 2 4 2 4 2 1
二次型 f X T AX

可逆线性变换X CY
标准形 f Y T (C T AC )Y
k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2
2
Y T Y
问题转化为： 求可逆矩阵 C，使得 C T AC 为对角矩阵
回忆： 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T 1 AT 又T为正交矩阵，即 T T T E，
2 2 2 f k1 x1 k2 x2 kn xn
k1 x1 [ x1 ,, x n ] kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
2 2 2 f x1 x2 x x p p 1 r
对3 4, 解 4E AX 0, 得基础解系为: 3 1,1 2 ,1
T
3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：
1 2 4 1 2 , 1 1 1 1 1 , 2 2 1 2 ; 3 3 1 2 1 , 1 5 0 1 5
a11 a 令 A 21 a n1
a12 a22 an 2

a1n a2 n ann
x1 x X 2 xn
则 f X T AX 其中 A 为对称矩阵。
二次型的矩阵表示（重点）
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。
f ( x, y ) x 2 y 2 5
不是二次型。
f ( x, y ) 2 x 2 y 2 2 x
取 aij a ji
则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
1 3 5 x1 [ x1 , x 2 , x 3 ] 3 5 7 x 2 x T Ax 5 7 9 x3
r( f ) r( A) 2
问： 在二次型 f x T Ax 中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型
为可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。 即二次型
为什么研究可逆 的变换？
f X T AX
i , j 1
a
n
ij
xi x j
经过可逆线性变换 使得
2 1
X CY
2 2 2 n
f k1 y k2 y kn y
即经过可逆线性变换X CY 可化为 f X T AX (CY )T A(CY ) Y T (CT AC)Y
称为二次型的规范形。 (注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
f x1 , x2 ,, xn
找可逆的线性变换(坐标变换)：
i , j 1
aij xi x j
n
(1)
x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n ( 其中 C (c ij ) 可逆 ) x n cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn
2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i i 1,2, , n 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .
2 2 f ( x , x , x ) x 3 x 例如：二次型 1 2 3 1 3 4 x1 x 2 x 2 x 3
例1
写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1 f ( x1 , x 2 , x 3 ) [ x1 , x 2 , x 3 ]4 5 6 x 2 x T Bx 7 8 9 x3
解
2 2 3 f x1 5 x2 9 x3 6 x1 x2 10 x1 x3 14 x2 x3
作正交变换 X=QY，则
2 4 y32 f 5 y12 5 y2
在几何中，可以保持曲线 注：正交变换化为标准形的优点： （曲面）的几何形状不变。
2. 配方法
⑴ 同时含有平方项 与交叉项 的情形。 例2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。
所以 T 1 T T
所以， 对于任意实对称矩阵 A, 总存在正交矩阵 T,
使得， T T AT
此结论用于二次型
主轴定理 (P191 定理6.2.1)
任给二次型 f
i , j 1
aij xi x j aij a ji , 总有
n
正交变换 x Py , 使 f 化为标准形
2 ann xn
称为n维(或n元)的二次型. 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！
例如： f ( x, y ) x 2 4 xy 5 y 2
都是二次型。 f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 xz yz f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
§6.1 二次型及其标准形
引言 判别下面方程的几何图形是什么？
2 x 2 3 xy y 2 10 (1)
作旋转变换
~ sin( ) ~ y x cos( ) x , ~ ~ 6 y sin( ) x cos( ) y
代入(1)左边，化为：
2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn

2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn
二次型用和号表示

i , j 1
a
n
ij
xi x j
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a2 n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 ann xn )
代入(1)式，使之成为标准形
f
2 k1 y1 2 k 2 y2 2 k n yn
称上面过程为化二次型为标准形。
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型
§6.3 正定二次型与正定矩阵
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记
当C 是可逆矩阵时, 称
0 x1 1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1/2 x2 0 1/2 -3 x 3
注：二次型 对称矩阵
定义2： 二次型
f X T AX 把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵
也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
1
1 2 4 5 0 5 2 E A 2 4 2 2 4 2 5 4 4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1 2对1 2 5, 解5E AX 0, 得基础解系为: 1 1 , 2 0 0 1
1 4 2 1 1 1 1 令 i i , 则 1 2 , 2 2 , 3 1 , i 3 5 45 0 5 2 1 5 4 45 2 3 4令Q 1 , 2 , 3 2 5 2 45 1 3 , 则Q是正交矩阵。 0 5 45 2 3 并且QT AQ Q 1 AQ diag 5,5,4