2r 3
122.13
1 r 2 (2r)2
5-9
解：由P136式（5-27）
FT F0
1 2 r 2
1 r2 2 2 r 2
①若 FT / F0 1
则 1 2 r2 1 r2 2 2 r2
1 1 r 2 2
0 r2 2 r 2 即
2
n
对本题，
2 n
k
/m
800
(1
1 3n2
1)m(nl&&) n
k(nl)
0
(1
1 3n2
1 )m&x& n
kx&
0 meq
(1
1 3n2
1)m n
3-3解：(a)建立坐标，向下为正则有
[ 1 ml2 m(1 l)2 ]&& cl2& ka2 0
12
2
即
[ 1 ml2 m(1 l)2 ]&& cl2& ka2 0
m2 (l2&)2
1 2
m3[(l3
l4 )&]2
U
1 2
k[(l3
l4 )]2
mgl2 (1 cos)
V
t 0
c
(l3&)2
dt
T U V 常数
对之求时间的导数，得
[m1l12 m2l22 m3(l3 l4 )2]&& cl32& k(l3 l4 )2 m2gl2 0
2-9 解：
其解为 x Acosnt B sin nt
其中 n
k m1 m2
解的初始条件依题意为 x(0) x0 ; x(0) x0
x
x0 的求解：m2 下落至 m1 处，
1 2
m2V22
m2 ghV
2gh
.
碰撞过程利用动量守恒 m2v (m1 m2 ) x 0
.
x0
m2
m1 m2
m2 m1 m2
3 mR 2 2k (R a) 2 0
2
2-5 求如图所示系统的振动微分方程。
解：假定绳与轮之间无滑动
T
U
1 2
m(r&)2
1 2
J0&2
1 2
k (r )2
由 d (T U ) 0 dt
结合 x r
J0
1 2
Mr 2
可得
m
J0 r2
&x&
kx
0
2-6解：
T
1 2
m1(l1&)2
1 2
10 3
/
2500
10 3
/ 9.8
n 1.77 又 2 n
60
2n 2.5
n 30 23.9r / min
ka2 mgL mL2 2 2 ca2 2
tg 1
ca 2
ka2 mgL mL2 2
4-4解： m&x& cx& kx F0 cost
2 2
Td d
n
1 2
n
Td
2 1
2
1
2 1 0.04
6.41
rad
s
m
k
n2
3000 6.412
73kg
运动微分方程化为
&x& 2.56x& 41.09x 0.27 cos3t
1 11
ke k1 k2 k3
ke
(k1 k2 )k3 k1 k2 k3
2-12解：
T 1g1 (nl m)(nl)2&2 1g1 (l nl m)(l nl)2&2
23 l
23 l
1 (1 3n 3n2 )ml 2&2
6
U 1 k (nl)2 2
2
1 (1 3n 3n2)ml2&& k(nl)2 0 3
1 2r 2 1 r 2 2 2r 2
r 2 f
2 20
2.52 , 0.1
n k m 2.802105 /113
S X 0.21 x 0.21Y
Y
再设
x Xei( )
则仪器加速度为
&x& X e2 i(t) 0.21Y2ei(t) 0.032ei(t)
而
tg 1
mx cx kx 0 x 2 n x n2 x 0
代入已知m，c，k，得
n
1000 10
10 rad s
即 x 20x100x 0
1） 0
x(t) x0 sin(10t ) 可得 x(t) 0.01cos10t
初始条件 x0 0.01m, x0 0
2） 0.2
x(t) Rent sin(dt ) Re2 sin(10 1 0.22t )
由 x0 0.01， x0 0
可解得 A1 0.01，A 2 0.1
xt 0.01 0.1te10t
4-2 解：建立如右坐标
mL2&& c(a&)a k(a Acost)a mgL sin
mL2&& ca2& (ka2 mgL) akAcost
若设 co X cos(t )
则
X
0.27
0.0082(m)
41.09 32
2
2.5643
2
tg
1
2 n
2 n
2
tg 1 0.24
0.235(rad )
x 8.2cos(t 0.235)(mm)
5-7解：设基础运动
y Yei
则 y Y 2ei
依题意， Y 2 15.24
又位移传递率 S X Y
12
2
&&
3c m
&
3
k m
a l
2
0
n
3
k m
a l
2
fn
1
2
3
k m
a l
2
1
2
a l
3k m
3c m
2n
1
2n
3 c m
2m
2a
3c
c
3
k m
a l
2
cc
cc 3 l 3 m k
3-5解：建立x坐标，以 m1 m2 接触后的静平衡位置为坐标原点
(m1 m2 )x kx 0
机械振动噪声学 习题课
1 J&2
2
2-3解：
T 1 m(r)2 1 J2
2
2
平动 转动
J 1 mr 2 U 1 k(r)2
2-3
2
2
T+U=常数，
整理，得
3 m k 0
2
2-4
解：
T 1 m(R) 2 1 J2
2
2
U 1 (2k) [(R a)]2 2
J 1 mR2 2
由d (T U ) / dt 0可得
2gh
x0 等于 m2 导致弹簧伸长的负值。
x0
m2 g k
于是
x(t) m2g cos
k t m2 2gh m1 m2 sin
kt
k
m1 m2 m1 m2
k
m1 m2
m2g cos k t m2 2gh sin k t
k
m1 m2
m1 m2 k
m1 m2
3-6 解：依题意，系统运动微分方程为
R
x02
x0 n x0 n 1 2
2
,
tg 1
x0
d x0 n x0
代入 x0 , x0 后可得
R
1
1 2
x0
0.0102 (mm)
tg 1
1 2
1.369 (rad )
x(t) 0.0102e2t sin(9.798t 1.369)
3） 1 此时为临界阻尼状态
x(t) ( A1 A2t)ent ( A1 A2t)e10t