几何图形综合题
1. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，AE ⊥BE 于E ，CD ⊥BE 于D .若CD ＝8，DE ＝5，则AE 的长为________．
第1题图
3 【解析】∵∠ABC ＝90°，AE ⊥BE ，CD ⊥BE ，∴∠E ＝∠CDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBD ＝90°，∠
CBD ＋∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠ABE ，在△CDB 和△BEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CDB ＝∠E ∠BCD ＝∠ABE CB ＝BA
，∴△CDB ≌△BEA (AAS)，∴BE
＝CD ＝8，AE ＝BD ，∵DE ＝5，∴AE ＝BD ＝BE －DE ＝8－5＝3.
2. 如图，在▱ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝BC ＝8，点M 、N 分别在BC 、CD 上，且∠MAN ＝60°，则四边形AMCN 的面积是__________．
第2题图 16 3 【解析】如解图，连接AC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵∠B ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∴AE ＝AB ·sin60°＝43，∵∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，又∵AC 平分∠BAD ，∴∠B
＝∠ACN ＝60°，∴△ABM ≌△ACN (ASA)，∴S 四边形AMCN ＝S △ABC ＝12
×43×8＝16 3.
第2题解图
3. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，M 、N 分别为BC 、CD 上一点，连接AM 、AN 、MN ，则△AMN 周长的最小值为________．
第3题图
27 【解析】如解图，作点A 关于BC 、CD 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交BC 、CD 于点M 、N ，则AM ＝ME ，AN ＝NF ，此时EF 的长为△AMN 的周长的最小值．过点F 作FP ⊥EA 交EA 延长线于点P ，∵∠BAD ＝120°，∴∠PAF ＝60°.∵AF ＝2AD ＝4，∴PA ＝2，PF ＝2 3.在Rt △EPF 中，PE ＝PA ＋2AB ＝4，∴EF ＝PE 2＋PF 2
＝27，∴△AMN 周长的最小值为27.
第3题解图
4. 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E 为AB 的中点，M 、N 是CD 上的两动点，且满足MN ＝1，则EM ＋EN 的最小值为________．
第4题图
5 【解析】∵E 为AB 的中点，∴EB ＝12
AB ＝1，如解图，连接BN ，∵EB ∥MN ，∴四边形EMNB 为平行四边形，∴EM ＝BN ，∴EM ＋EN ＝BN ＋NE ，作点E 关于DC 的对称点E ′，连接BE ′，交DC 于点N ′，此时点B 、N ′、E ′三点在一条直线上，∴点M 、N ′即为使EM ＋EN 最小值点，此时EM ＋EN ′＝BE ′，EE ′＝2BC ＝2，EB ＝1，∴在Rt △E ′BE 中，BE ′＝EE ′2＋BE 2＝22＋12
＝5，∴EM ＋EN 的最小值为 5.
第4题解图
5. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AD ＝3，点E 为边AB 上一点，且AE ＝2，点F 为BC 边上一动点，将△BEF 沿EF 折叠．点B 落在点P 处，连接AP 、CP ，则四边形ADCP 面积的最小值为________．
第5题图
1534－32 【解析】如解图，连接AC ，S 四边形ADCP ＝S △ACD ＋S △ACP ，∵S △ACD 为定值，∴当S △ACP 最小时，四边形ADCP 的面积最小，∵AC 为定线段，∴当点P 到AC 距离最小时，S △ACP 最小，由折叠可知，EP ＝EB ＝AB －AE ＝1，∴点P 在以E 为圆心，EB 长为半径的圆弧上运动．过E 作EH ⊥AC ，交圆弧于点P ′，点P ′即为使S △ACP 最小时点P 的位置，∵四边形ABCD 为菱形，∠B ＝60°，∴∠D ＝60°，∴△ACD 为等边三角形，∴∠BAC ＝∠CAD ＝60°，AC ＝AD ＝3，S △ACD ＝934，∵AE ＝2，∠BAC ＝60°，∴EH ＝3，∴S △ACP ′＝12AC ·P ′H ＝32
(3－1)，∴S 四边形ADCP ′＝S △ADC ＋S △ACP ′＝934＋32(3－1)＝1534－32
.
第5题解图
6. 如图，矩形ABCD 中，BC ＝2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、B 、C 分别落在点A ′、B ′、C ′处，并且点A ′、C ′、B 在同一条直线上，则tan ∠ABA ′的值为________．
第6题图
5－12
【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠A ＝90°，C ′D ∥BC ，∵将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，∴AB ＝C ′D ，BC ＝B ′C ′＝A ′D ＝2，设AB ＝x ，则AB ＝C ′D ＝x ，A ′C ＝A ′D ＋CD ＝x ＋2，∵C ′D ∥BC ，∴△A ′C ′D ∽△A ′BC ，∴C ′D BC ＝A ′D A ′C ，即x 2＝2x ＋2
，解得x ＝－1＋5或x ＝－1－5(小于0，不合题意，舍去)，则tan ∠ABA ′＝tan ∠DA ′C ′＝C ′D A ′D ＝5－12
. 7. 如图，正方形ABCD 的面积为4，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则最小值为________．
第7题图
2 【解析】如解图，当点P 为BE 与AC 交点时，连接BD ，与AC 交于点F .∵点B 与点D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE .当PB ＋PE ＝BE 时，其值最小．∵正方形ABCD 的面积为4，∴AB ＝2.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝2，∴PD ＋PE 的最小值为2.
第7题解图
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，动点F在边BC上运动，连接AF，过C作CD⊥AF 于点D，交AB于点E，则点B、D之间距离的最小值为________．
第8题图
213－4 【解析】如解图，连接BD，∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°，∴点D始终在以AC为直径的⊙O 的一部分上运动，∵OD＋BD≥OB，且OD与OB的长为定值，∴当点D为OB与⊙O的交点时，线段BD的长取最小值，∵OC＝4，BC＝6，∴OB＝42＋62＝213，∵OD＝4，∴BD之间距离的最小值为213－4.
第8题解图
9. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝BC＝2，∠C＝∠D＝60°，点P为四边形ABCD内任意一点，则PA＋PB＋PC＋PD的最小值为________．
第9题图
4 3 【解析】如解图，连接AC、BD，则AC、BD的交点即为PA＋PB＋PC＋PD取得最小值时P点位置．在四边形ABCD内，任取一点P1，连接AP1、BP1、CP1、DP1，利用三角形三边关系及三点共线性质易得AP1＋CP1≥AC(当点P在线段AC上时，等号成立)，BP1＋DP1≥BD(当点P在线段BD上时，等号成立)，∴AP1＋BP1＋CP1＋DP1≥AC＋BD＝PA＋PB＋PC＋PD，即AP1＋BP1＋CP1＋DP1≥AP＋BP＋CP＋DP，当点P为AC与BD的交点时，等号成立，∴AC与BD的交点即为P点，能使得PA＋PB＋PC＋PD最小，最小值为AC＋BD.∵AB∥CD，∠ADC ＝∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BAD＝120°，∵AB＝BC＝2，∴∠BAC＝∠ACB＝30°，∴∠ACD＝30°，∠DAC
＝90°，∵AD＝2，∴AC＝AD
tan30°
＝23，同理可求得BD＝23，∴AC＋BD＝43，∴PA＋PB＋PC＋PD的最小值为4 3.
第9题解图
10. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，sin B ＝45
，点E 、F 分别是BC 、AB 上的点，连接DE 、EF 、DF ，且EF ⊥AB ，则△DEF 面积的最大值为________．
第10题图
20 【解析】如解图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，∵sin B ＝AG AB ＝FH BF ＝45
，AB ＝5，∴AG ＝4，则BG ＝3，∴S ▱ABCD ＝AG ·BC ＝4×10＝40，设EF ＝4k ，则BE ＝5k ，BF ＝BE 2－EF 2＝3k ，∴S △BEF ＝12
BF ·EF ＝12×3k ×4k ＝6k 2，∵FH ＝BF sin B ＝3k ×45＝
12k 5，∴S △AFD ＝12(AG －FH )·AD ＝12(4－12k 5)×10＝20－12k ，S △ECD ＝12EC ·AG ＝12(BC －BE )·AG ＝12(10－5k )×4＝20－10k ，则S △DEF ＝S ▱ABCD －S △BEF －S △AFD －S △ECD ＝40－6k 2－(20
－12k )－(20－10k )＝－6k 2＋22k ＝－6(k －116)2＋1216，∵BF ＝3k ≤AB ＝5，∴k ≤53，∵53≤116，∴当k ＝53
时，△DEF 面积有最大值，最大值为20.
第10题解图。