f (x) = 0 的 有 根 区 间 。 又 当 x [1, 2] 时 ， f (x) = 6x − 4.8 0 ， 因 此
f (x) = 0 在[1, 2] 上有惟一实根 x* 。对 f (x) 应用牛顿迭代法，得计算公式
xk +1
=
xk
−
3xk2
− 4.8xk − 0.51, k 6xk − 4.8
=
−
1 4
，迭代格式为
xk +1
=
xk
−
1 4
( xk2
− 3),
k
=
0,1, 2,．
当c
=
−
1 23
，迭代格式为
xk +1
=
xk
−
1 23
( xk2
− 3),
k
=
0,1,
2,
取 x0 = 2 ，计算得
4
n
xn
（
c
=
−
1 4
）
xn − xn−1
xn
（c
=
−
1 23
）
xn − xn−1
0
2
1 1.750000000 0.250000000
因此
0.2624 ln1.3 (x) ln 2 0.6931, x [0, 0.7]，
1
即(x) [0.0.7], x [0, 0.7] ； (x) = 1 1 0.7692 1，因此迭代法收敛。
x − 2 1.3
（4）迭代计算：
n
xn
0
0.4
1
0.4700
2
0.4253
3
0.4541
a x2
知，牛顿迭代公式为
xn+1
=
(xn )
=
2xn3 + 3xn 2
a
=
1 3
2
xn
+
a xn 2
=
1 3
xn
+
xn
+
a xn 2
对a
0 ，自然取
x0
0
。易知， ( x)
=
2 3
1 −
a x3
，注意当
x3 a时
2 3
(x)
=
2 1 − 3
a x3
0 ，则初值取 x0
3
a
时牛顿迭代法
2 1.711324865 1.731926803 1.732050803 1.732050799
0.288675135 0.020601938 0.000124000 0.000000004
5.证明：法一：由牛顿迭代法的迭代函数
(x) =
x−
f (x) f (x)
=
2x3 + a 3x2
= 1 2x + 3
2
n =1,2,
n
xn
0
0.4
1
0.4434
2
0.4429
xn − xn−1
0.0434 0.0005
3.解：两曲线的导数分别为 y = 3x2 − 0.51和 y = 4.8x ，两曲线相切，导数
相等，故有
3x2 − 4.8x − 0.51 = 0
令 f (x) = 3x2 − 4.8x − 0.51 ，则 f (1) 0, f (2) 0 ，故区间[1, 2] 是
=
0,1, 2
由于 f (x) = 6 0 ，故取 x0 = 2 迭代计算一定收敛。
计算结果如下表所示k
0
2.0
1
1.737500
2
1.700750
3
1.700003
4
1.700000
继续计算仍得 x5 = 1.70000 ，故 x* = 1.70000 。
4.解：（1）设(x) = x + c(x2 − 3) ，为 x = (x) 的根．由迭代格式收
式收敛于 = 3 ；当 c (0, 1 ) 时，迭代格式也具有局部收敛性，但此 3
时迭代格式收敛于 = − 3 ．
（2）若( ) = 0 ，则迭代格式为超线性收敛．故令
( ) = 1+ 2c = 0 ，解得 c = − 1 ．所以，求 = 3 ，取 2
c = 1 时迭代收敛最快． 23
（3）当 c
xk
+1
=
xk
−
(s − xk )2 t − 2s + xk
(k = 0,1, 2, )
2）计算结果：
n
xn
0
0.4
1
0.4427
2
0.4429
（6）用牛顿迭代法进行计算：
xn − xn−1
0.0427 0.0002
2
1）牛顿迭代公式： 2）计算结果：
xn+1
=
xn
−
exn + exn
xn − +1
[1.5，2.5]
2
[2.0，2.5]
3
[2.25，2.5]
4
[2.25，2.375]
5
[2.25，2.3125]
xn 2.0 2.25 2.375 2.3125 2.28125
所求根的近似值为
2.28125
f（xn）的符号 + +
。
2.解：（1）验证区间[0, 0.7] 隔根区间： f (0) = 1− 2 = −1 0 ， f (0.7) = e0.7 + 0.7 − 2 0.7138 0 区间[0, 0.7] 必有根存在，且 f (x) = ex +1 0 ，易知区间[0, 0.7] 为隔
对 a 0 ，自然取 x0 0 ，由迭代公式知 xn 0 。因为 f (x) = x3 − a = 0 ，则 f (x) = 3x2 0, f (x) = 6x 0 ，函数 f (x), f (x) 连续且在 x 0
时不变号（或不等于 0）
根据牛顿迭代法全局收敛定理知，若初值 x0 满足 f (x0 ) f (x0 ) 0 ， 则牛顿迭代法收敛，此时 f (x0 ) 0 ，即 x0 3 a 时牛顿迭代法收敛；
收敛（可将隔根区间取为[3 a,+) ）；
若初值取 0 x0 3 a ，由算术平均数与几何平均数之间的关系可
知，
5
x1
=
1 3
x0
+
x0
+
a x0 2
3
a
则将 x1 ( x1 [3 a,+) )作为初值进行牛顿迭代，迭代法收敛。因此，可
证对任意 x0 0 牛顿迭代法收敛。 法二：使用牛顿迭代法全局收敛定理进行证明。
与法一类似，注意到 x0 0 时， x1 3 a 。将 x1 看做初始值即可证
明结论。
6
第二章 非线性方程数值解法参考解答
1. 解：（1）要使根的近似值有 2 位有效数字，即要求其绝对误差限不超过
1 101−2 。 2
依先验误差估计不等式
xk
− x*
1 2k
(b − a)
1 101−2 ， 2
可知至少需将区间[1.5, 2.5] 对分
5
次。
（2）将二分法计算过程列表如下：
n
隔根区间
1
4
0.4356
5
0.4475
6
0.4399
xn − xn−1
0.0700 0.0447 0.0288 0.0185 0.0119 0.0076
（5）对构造的迭代法进行 Steffensen 迭代加速计算：
1）Steffensen 迭代加速公式：
s = (xk ) = ln(2 − xk )
t = (s) = ln(2 − s) = ln(2 − ln(2 − xk ))
敛 的 条 件 ( ) = ， 有 + c( 2 − 3) = ， 故 = 3 为
3
x = x + c(x2 − 3) 的根． 要使迭代过程 xk+1 = (xk ) 收敛，在条件( ) = 满足时，还必须有
( ) 1．故令
( ) = 1+ 2c 1
得 −1 1 2 3c 1，即 −1 3c 0 ． 求 = 3 时，由 −1 3c 0 ，解得 c (− 1 ,0) ； 3 求 = − 3 时，由 −1 − 3c 0 ，解得 c (0, 1 ) ． 3 所以，当 c (− 1 , 0) 时，迭代格式具有局部收敛性，且此时迭代格 3
根区间。
（ 2 ） 将 方 程 等 价 变 形 为 x = ln(2 − x) ； 则 相 应 的 迭 代 格 式 为 xn = ln(2 − xn−1) n = 1,2,。
（3）验证迭代法在区间[0, 0.7] 内的收敛性：
易知 ( x)
=
ln(2 −
x), ( x)
=
x
1 −
2
，
则迭代函数在区间[0, 0.7] 一阶导数存在；迭代函数在区间上单调递减，
2 1.734375000 0.015625000
3 1.732360840 0.002014160
4 1.732092320 0.000268520
5 1.732056369 0.000035951
6 1.732051553 0.000004816
7 1.732050907 0.000000646