上海市徐汇区位育中学2021-2022学年高二上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共4小题，共16分）1、若等差数列{a n }的项数n 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）A.n−1nB.2n+1nC. n+1n−1D.2n+12n2、若log a b >1，(a >1)，则n →∞lima n −bna n +bn 的值为（ ） A. 1 B. −1 C. 0 D. ±13、数列{a n }满足a n+1=2a n +3,n ∈N ∗，若a 2017≥a 1，则a 1的取值范围是（ ）A. {−3}B. (−∞,3]C. [−3,+∞)D. [3,+∞)4、如果数列{a n }满足：首项a 1=1且a n+1={2a n ,n 为奇数a n +2,n 为偶数那么下列说法中正确的是（ ）A. 该数列的奇数项a 1，a 3，a 5，….成等比数列，偶数项a 2，a 4，a 6，….成等差数列B. 该数列的奇数项a 1，a 3，a 5，….成等差数列，偶数项项a 2，a 4，a 6，….成等比数列C. 该数列的奇数项a 1，a 3，a 5，….分别加4后构成一个公比为2的等比数列D. 该数列的偶数项项a 2，a 4，a 6，….分别加4后构成一个公比为2的等比数列二、填空题（本大题共12小题，共36分）5、数列1，3，7，15，…的一个可能的通项公式为a n =______．6、等差数列{a n }中，a 3=6，{a n }的前n 项和为S n ，则S 5=______．7、数列{a n }中a 1=15，a n+1=a n −2，则{a n }中满足a m ⋅a m+1<0的m 的值为______． 8、已知n →∞lim(5n 2n+4−an)=b ，则常数a ，b 构成的点(a,b)的坐标为______．9、用数学归纳法证明12+22+⋯+(n −1)2+n 2+(n −1)2+⋯+22+12=n(2n 2+1)3时，由n =k 的假设到证明n =k +1时，等式左边应添加的式子是______．10、设等差数列{a n }{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n=5n+32n−1，则a4b 4=______．11、{a n }为等比数列，若a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52，则a n = ．12、“远望巍峨塔七层，红灯点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.(选自《九章法比类大全》)诗中所述的尖头有______盏灯．13、已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N ∗，有a p +a q =a p+q ，若a 1=19，则a 36= ______ ．14、若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+an1−a n(n ∈N +)，则可得该数列的前2011项的乘积a 1⋅a 2⋅a 3…a 2010⋅a 2011=______．15、在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的n ∈N ∗都有a n ≤a n+1成立，且对于任意k ∈N ∗，数列{a n }中恰好有k 个k ，则a 2017=______．16、在数列{a n }中，如果对任意n ∈N ∗都有a n+2−an+1a n+1−a n =k(k 为常数)，则称{a n }为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题： (1)等差比数列的公差比一定不为0； (2)等差数列一定是等差比数列；(3)若a n =−3n +2，则数列{a n }是等差比数列； (4)若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确的命题的序号为______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共48分）17、(本小题6.0分)数列{a n }满足a 1=29,a n −a n−1=2n −1,n ∈N ∗,n ≥2，求{a n }的通项公式． 18、(本小题8.0分)如图，P 1是边长为1的等边三角形纸板，在P 1的左下端剪去一个边长为12的等边三角形得到P 2，然后再剪去一个更小的等边三角形(其边长是前一个被剪去的等边三角形边长的一半)，得到P 3，P 4，…，P n ，…(1)设第n 次被剪去等边三角形面积为a n ，求a n ； (2)设P n 的面积为S n ，求n →∞limS n ．19、(本小题10.0分)已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=S n +2n +2(n ∈N ∗)，(1)当n ∈N ∗且n ≥2时，数列{a n +2}是否是等比数列？给出你的结论并加以证明； (2)求数列{a n }的通项公式．20、(本小题10.0分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规.本年度当地旅游业收入估计为400万元，划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元．写出a n，b n的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？21、(本小题14.0分)设等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项，数列{b n}满足2n2−(1+b n)n+3b n=0(t∈R,n∈N+).2(1)求数列{a n}的通项公式；(2)试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列；(3)当{b n}为等差数列时，对每个正整数k，在a k与a k+1之间插入b k个2，得到一个新数列{c n}，设T n是数列{c n}的前n项和，试求满足T m=2c m+1的所有正整数m．参考答案及解析1.答案：C解析：由题意可得，奇数项有n+12 项，偶数项有n−12项． 奇数项之和为n+12a 1+n+12⋅n−122⋅2d =n+12(a1+n−12d )， 偶数项之和为n−12(a 1+d)+n−12⋅n−322⋅2d =n−12 (a 1+n−12d )．∴奇数项之和与偶数项之和的比为n+1n−1， 所以选：C ． 奇数项有n+12 项，偶数项有n−12项，利用等差数列的前n 项和公式分别求出奇数项之和与偶数项之和，即可得到奇数项之和与偶数项之和的比．本题主要考查等差数列的通项公式，前n 项和公式及其应用，属于基础题．2.答案：B解析：由log a b >1，(a >1)可知b >a >l ，所以ab ∈(0,1)， n →∞lima n −bna n +bn=n →∞lim(a b )n−1(a b )n +1=0−10+1=−1，所以选：B ．根据log a b >1，(a >1)求出a ，b 之间的关系，后在n →∞lima n −bna n +bn 上下同时除以a ，b 中较大数的幂即可．本题考查数列的极限，属于基础题．3.答案：C解析：∵数列{a n }满足a n+1=2a n +3,n ∈N ∗， ∴a n+1+3=2(a n +3)，若a 1+3=0，即a n +3=0，此时a n =−3，满足a 2017≥a 1， 若a 1+3≠0，则数列{a n +3}是公比为2的等比数列， 故a n +3=(a 1+3)⋅2n−1，可得a 2017=(a 1+3)⋅2n−1−3，a 2017−a 1=(a 1+3)⋅22016−3−a 1=(a 1+3)(22016−1)≥0，可得a 1≥−3，此时a 1>−3， 综上可得a 1≥−3， 所以选：C ．根据递推关系式得到a n+1+3=2(a n +3)，再分首项是否为0求出通项，即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力和逻辑思维能力，属于中档题．4.答案：D解析：∵首项a 1=1且a n+1={2a n ,n 为奇数a n +2,n 为偶数∴a 2=2，a 3=4，a 4=8，a 5=10，a 6=20，a 7=22，a 8=44该数列的奇数项1，4，10，22…既不成等差数列，也不成等比数列，所以选项A 、B 不正确； 该数列的奇数项a 1，a 3，a 5，…，分别加4后为5，9，14，26，…，不成等比数列，故C 不正确； 该数列的偶数项项a 2，a 4，a 6，….分别加4后为6，12，24，48，…，构成一个公比为2的等比数列，故正确． 所以选：D ．先根据首项和递推式求出前8项，然后取出奇数项根据等差数列和等比数列的定义可判定选项A 、B 的真假，将数列的奇数项a 1，a 3，a 5，…，分别加4后可判定C 的真假，数列的偶数项项a 2，a 4，a 6，….分别加4后可判定D 的真假．本题主要考查了数列递推式，以及等差数列与等比数列的判定，属于中档题．5.答案：2n −1，n ∈N ∗解析：经过观察，1=21−1，3=22−1，7=23−1，15=24−1，……故推测a n =2n −1，n ∈N ∗． 所以答案为：2n −1，n ∈N ∗．根据每项的特点，归纳出一个通项公式即可． 本题考查了归纳法得到数列的通项公式，属于基础题．6.答案：30解析：等差数列{a n }中，a 3=6， 则S 5=a 1+a 52×5=5a 3=30．所以答案为：30．由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解． 本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题．7.答案：8解析：由a 1=15，a n+1=a n −2，即a n+1−a n =−2， 可得数列{a n }是首项为15，公差为−2的等差数列， 则a n =15−2(n −1)=17−2n ，a m ⋅a m+1<0，即有(17−2m)(15−2m)<0， 解得7.5<m <8.5， 由于m 为自然数，则m =8． 所以答案为：8．由等差数列的定义和通项公式，结合二次不等式的解法，可得所求自然数m 的值．本题考查等差数列的定义、通项公式和二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．8.答案：(5,−20)解析：由题知，n →∞lim(5n 2n+4−an)=n →∞lim(5−a)n 2−4ann+4=b ，所以{5−a =0−4a =b ，解得{a =5b =−20，所以常数a ，b 构成的点为(5,−20)． 所以答案为：(5,−20)． 根据数列极限求解点(a,b)即可． 本题考查数列的极限，属于基础题．9.答案：(k +1)2+k 2解析：本题的考点是数学归纳法，主要考查由n =k 的假设到证明n =k +1时，等式左边应添加的式子，关键是理清等式左边的特点．根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n =k 与n =k +1时的结论，即可得到答案． 根据等式左边的特点，各数是先递增再递减由于n =k ，左边=12+22+⋯+(k −1)2+k 2+(k −1)2+⋯+22+12n =k +1时，左边=12+22+⋯+(k −1)2+k 2+(k +1)2+k 2+(k −1)2+⋯+22+12 比较两式，从而等式左边应添加的式子是(k +1)2+k 2 所以答案为(k +1)2+k 210.答案：3813解析：因为等差数列{a n }{b n }中，Sn T n=5n+32n−1，则a 4b 4=2a 42b 4=a 1+a 7b 1+b 7=7(a 1+a 7)27(b 1+b 7)2=S 7T 7=3813． 所以答案为：3813．由已知结合等差数列的求和公式及性质进行转化即可求解． 本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．11.答案：2⋅3n−1解析：本题考查等比数列的通项公式的求法，考查运算求解能力，是基础题． 利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式． 设数列{a n }的公比为q ，可知q ≠1， ∵a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52， ∴{a 1+a 1q +a 1q 2=26a 1q 3−a 1=52， ∴a 1(1+q+q 2)a 1(q 3−1)=1q−1=12，解得q =3，a 1=2， ∴a n =2⋅3n−1． 所以答案为：2⋅3n−1．12.答案：3解析：设尖头至第一层分别有a 1，a 2，⋅⋅⋅⋅，a 7盏灯， 由题意可知a 1，a 2，⋅⋅⋅⋅，a 7成等比数列，公比为2，故S 7=a 1(1−27)1−2=381，所以a 1=3． 所以答案为：3．设尖头至第一层分别有a 1，a 2，⋅⋅⋅⋅7盏灯，由题意可知a 1，a 2，⋅⋅⋅⋅a 7成等比数列，公比为2，然后结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．13.答案：4解析：由题意得a 2=2a 1=29,a 4=2a 2=49,a 8=2a 4=89,a 16=2a 8=169，a 32=2a 16=329,a 36=a 32+a 4=369=4． 所以答案为4．由题设知，按递推公式先求出a 2，再导出a 4，然后求出a 8，再导出a 16，进而求出a 32，由此可求出a 36．本题考查数列的递推式，解题时要耐心地进行推导，注意公式的灵活运用．14.答案：3解析：由递推关系式，得a n+2=1+a n+11−a n+1=1+1+an1−a n 1−1+a n 1−an=− 1an，则a n+4=−1a n+2=−1−1a n=a n ．∴{a n }是以4为循环的一个数列．由计算，得a 1=2，a 2=−3,a 3=−12,a 4=13，a 5=2，… ∴a 1a 2a 3a 4=1，∴a 1⋅a 2…a 2010⋅a 2011=1×a 2009⋅a 2010⋅a 2011=a 1⋅a 2⋅a 3=3． 故答案是3先由递推关系式，分析得到数列{a n }的规律．即数列是以4为循环的数列，再求解．递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．15.答案：64解析：该数列为：1；2，2；3，3，3；4，4，4，4；…， 当n =63时，1+2+3+⋯+63=63×(1+63)2=2016， 当n =64时，1+2+3+⋯+64=64×(1+64)2=2080，所以a 2017=64． 所以答案为：64．直接利用数列的递推关系式和求和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，主要考查学生的运算能力，属于基础题．16.答案：(1)(3)(4)解析：(1)若公差比为0，则a n+2−a n+1=0，故{a n }为常数列，从而a n+2−an+1a n+1−a n =k 的分母为0，无意义，所以公差比一定不为零；(2)当等差数列为常数列时，不能满足题意； (3)a n =−3n+2a n+2−a n+1an+1−a n=− 3n+2+2+3n+1−2−3n+1+2+3n −2=3是公差比为3的等差比数列；(4)a n =a 1⋅q n−1，代入an+2−an+1a n+1−a n =q 命题正确，所以，正确命题为(1)(3)(4)．。