任意角与弧度制知识与题型总结一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角，记作：角或 可以简记成。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点重合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= （填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、 C 关系是（ ） A ．B=A∩C B ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=Cααα∠αx4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。

（2）若βα和是终边相同的角。

那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： （1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ．)(Z k k ∈{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββθ2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角α的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad∴ 1︒=3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°rl=αl r rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad or C 2rad1rad rl=2r oAAB例1、 把化成弧度例 例2、 把化成度例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2）2.1 rad （3）4、弧长公式和扇形面积公式；题型一、终边相同的角例1 与-457°角终边相等的角的集合是（ ）A ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，457360|ααB ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，97360|ααC ．}{Z k k ∈︒+︒⋅=，263360|αα D ．}{Z k k ∈︒-︒⋅=，263360|αα例2 如果角α与β终边相同，则有（ ）A ．α-β=πB ．α+β=0C ．α-β=2k π（k ∈Z ）D ．α+β=2k π（k ∈Z ）例3、与－1050°终边相同的最小正角是 .'3067rad π53rad π53r l α=22121r lR S α==题型二 已知角α所在象限，求角2α、2α所在象限问题例1 已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角例2.若α是第三象限角，则2α是第几象限角？例3.若α是第二象限角，则α3是第几象限角？题型三 弧度制的概念问题例1 下列诸命题中，假命题是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关例2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；OAB④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4题型四 角度与弧度互化问题例1 （1）将112°30′化为弧度 （2）将125π-rad 化为度题型五 与弧长、扇形面积有关问题例1.已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，试求扇形的中心角的弧度数例2、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．C ．D ．例3.如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长.变式练习．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长1sin 21sin 22sin OAB 24cm 8cm ABAB .题型六 用弧度表示终边相同角的问题例1.将-1485°表示成Z k k ∈+,2απ的形式，且πα20<≤题型七 由两角终边的位置确定两角的关系例1 若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系一定是（ ） A ．α=-β B ．α=180°+β C ．α=k ·360°+β（k ∈Z ） D. α= k ·360°+180°+β（k ∈Z ）例2、若α是第四象限角，则π－α一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题型八 函数思想例1 扇形的周长C 一定时，它的圆心角θ取何值才能使该扇形面积S 最大？最大值是多少？题型九实际应用题例1 经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？题型十、阴影部分面积1、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)．练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A．30° B．-30° C．630° D．-630°2、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（） A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（）A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝4、下列命题是真命题的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角B．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．=5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A CD ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④ 7、若α是第一象限的角，则-是( ) A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上 10、α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z}，与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间的关系是( )A.X YB.X YC.Ｘ=YD.X ≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )A.-360°＜α-β＜0°B.-180°＜α-β＜180°C.-180°＜α-β＜0°D.-360°＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是 （ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－＜α＜2k π(k ∈Z ) 14、设k ∈Z ，下列终边相同的角是（ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．C ．D ．16、设角的终边上一点P 的坐标是，则等于 （ ） {}Z k k ∈±⋅=,90360|αα{}Z k k ∈+⋅=,90180|αα⊂2α2π1sin 21sin 22sin α)5sin ,5(cosππαA ．B ．C ．D ．17、若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π，则M ∩N 等于 （ ）A ．{－} B ．{－} C ．{－} D ．{} 19、“”“A=30º”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为 （ ）A ．2B ．C ．1D ．21、设集合M ={α|α=k π±，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k ，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角，则角的终边在 . 23、与－1050°终边相同的最小正角是 .24、已知是第二象限角，且则的范围是 .5π5cotπ)(1032Z k k ∈+ππ)(592Z k k ∈-ππ5-2ππk }105ππ3,510ππ4,75-105ππππ4,107,3,7,031-1ππ21sin =A π3236π6π2αα,4|2|≤+αα。