任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角α，记作：角α或α∠可以简记成α。

2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

3、“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角} ④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B 、C 关系是（ ）A ．B=A∩CB ．B∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与)(Z k k ∈个周角的和。

（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。

（2）若βα和是终边相同的角。

那么βα-在 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'- ．例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[] 1260180，-∈θ．2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。

A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

orC 2rad1rad r l=2o A A B如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ， 周角=2?rad 注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角?的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径）3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad∴ 1?=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53化成度 例3、将下列各角从弧度化成角度 （1）36πrad （2） rad? （3） rad π533、弧长公式和扇形面积公式r l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 5、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④7、若α是第一象限的角，则-2是( ) A.第一象限的角B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角8、下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )轴的正半轴上 轴的正半轴上轴或y 轴上轴的正半轴或y 轴的正半轴上10、α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z}，与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间的关系是( )C.Ｘ=Y≠Y12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )°＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0°°＜α-β＜360°13、下列命题中的真命题是（ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z )14、设k ∈Z ，下列终边相同的角是 （ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ） A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16、设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ，则α等于（ ）A ．5πB ．5cot πC ．)(1032Z k k ∈+ππD ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于（ ）A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,}D ．{07,031-1ππ }19、“21sin =A ”“A=30o”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 20、中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆半径为（ ） A ．2B ．3C ．1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是 （ ）A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角，则2α角的终边在 . 23、与－1050°终边相同的最小正角是 .24、已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 .任意角的三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负的有（ ）A. ① B. ② C. ③ D. ④3. 02120sin 等于（ ）A. 23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（ ）A. 43- B. 34- C. 43 D. 345．若θ∈（5π4 ，3π2），则1－2sin θcos θ 等于θ－sin θθ＋cos θθ－cos θD.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝13，则cos 2θ＋sin θcos θ的值是A.－65B.－45C. 45D.65二、填空题 1. 设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________. 3．若角α的终边在直线y ＝－x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ .4．使tan x －xsin 1有意义的x 的集合为 .5．已知α是第二象限的角，且cos α2 ＝－45 ，则α2是第 象限的角. 三、解答题 1. 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos +的值.2. 设cos θ＝m －nm ＋n（m ＞n ＞0)，求θ的其他三角函数值.3．证明(1) 1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ ＝1＋tan θ1－tan θ(2)tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且， 求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值.。