第2讲圆周角定理与圆的切线
【2013年高考会这样考】
考查圆的切线定理和性质定理的应用.
【复习指导】
本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法•
A1 KAOJIiZIZHUDAOXUE “一亠—亠』
01》考基自主导学
基础梳理
1. 圆周角定理
⑴圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角.
⑵圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一_______
(3)圆周角定理的推论
①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
②半圆(或直径)所对的圆周角是90° 90。
的圆周角所对的弦是直径.
2. 圆的切线
(1)直线与圆的位置关系
①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长相—
3. 弦切角
(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角.
（2）弦切角定理及推论
①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半.
②推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等.
双基自测
1 •如图所示，△ ABC 中，/ C = 90° AB= 10, AC = 6,以AC
为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为___________ .
解析连接CP.由推论2知/ CPA= 90°即CP丄AB,由射影定
理知，AC2=
AP AB.A AP= 3.6,二BP= AB—AP = 64 答案6.4 2•如图所示，AB、AC是。
O的两条切线，切点分别为B、C, D
是优弧"BC上的点，已知/ BAC= 80° 那么/BDC = __________ .
解析连接OB、OC,贝U OB 丄AB, OC X AC,：/ BOC= 180°— /
BAC= 100°
A / BDC = 2/BOC= 50°
答案50 3. （2011广州测试（一））如图所示，CD是圆O的切线，切点为C, 点A、B在圆O上，BC= 1,/ BCD= 30°则圆O的面积为______ .
解析连接OC, OB,依题意得，/ COB= 2/ CAB = 2/BCD =
60° 又OB = OC,
因此△ BOC是等边三角形，
OB= OC= BC = 1,即圆O的半径为1, 所以圆O的面积为nX12= n.
答案n
4. （2011深圳二次调研）如图，直角三角形ABC中，/ B= 90°
AB= 4,以BC为直径的圆交AC边于点D, AD = 2,则/C的大
解析 连接 BD ，则有/ ADB = 90°.在 Rt A ABD 中，AB = 4, AD = 2,所以/ A = 60° 在 Rt A ABC 中，/ A = 60° 于是有/ C = 30° 答案 30°
5. （2011汕头调研）如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与 圆O 上过点P 的切线PA 相交于点A ,若/ M = 30° AP = 2晶 则圆O 的直径为 .
解析 连接OP ，因为/ M = 30°所以/ AOP = 60°因为PA 切圆O 于P ，所以
AP 2^/3
OP 丄AP ，在叱ADO
中, OP
=寸AO P = tan 丽y 故圆O 的直径为4.
答案4
*CAOXiANGTANJIUID*OXIi —
净考向探究导析 考向一圆周角的计算与证明
【例1】?（2011中山模拟）如图，AB 为。
O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ,若AB
［审题视点］连结AD , BC ,结合正弦定理求解. 解析 连接AD , BC.因为AB 是圆O
的直径，所以/ ADB =Z ACB = 90° snADABD 二 ABn /ABDD 二 AB
=3,又 CD 二〔，所以曲 DAC =前/DAP =3
所以 cos / DAP _
02
研析琴向！秦例奕破
=3, CD = 1,贝U sin /APB = _________
又/ ACD = /ABD ，所以在厶ACD 中，由正弦定理得:
_CD _ _
sin /DAC _sin / ACD _
AD c
又 sin / APB _ sin (90 +/ DAP)_ cos / DAP _ | 2.
y”〉解决本题的关键是寻找/ APB 与/ DAP 的关系以及AD 与AB 的关系. 【训练1】 如图，点A , B , C 是圆0上的点，且AB = 4,/ ACB = 30°则圆0
解析 连接AO , OB.因为/ ACB = 30°所以/ AOB = 60° △ AOB 为等边三角形, 故圆O 的半径r = OA = AB = 4,圆O 的面积S = n 2= 16 n. 答案 16 n
考向二弦切角定理及推论的应用
【例2】？如图，梯形ABCD 内接于。
O , AD // BC ,过B 引。
0的切线分别交
［审题视点］先证明△ EAB sA ABC ,再由AE / BC 及AB _ CD 等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解.
解析 T BE 切O O 于 B ,A / ABE =Z ACB. 又 AD // BC ,A / EAB =Z ABC , BE AB
•••△ EA” ABC ,： AC BC.
又 AD // BC ,： AB _ CD
:EF _30_ 2
的面积等于
又 AE //
BC ,
： A F _ AC ， .EF BE • AB _ EF BC _ AF .
：AB _ CD ，: Sb
需，
5_ EF
8二 6，
DA 、CA 的延长线于E 、
_5, AF _6,贝U EF 的长为
15
答案1
⑵（1）圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小.
（2）涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线（或半径）或向弦（弧）两端画圆周角或作弦切角.
【训练2】（2010新课标全国）如图，已知圆上的弧瓜C = 而，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（1）Z ACE=Z BCD;
（2）BC2= BE X CD.
证明（1）因为AC = BD，
所以/ BCD = / ABC.
又因为EC与圆相切于点C,故/ ACE=Z ABC，
所以/ ACE=Z BCD.
⑵因为/ ECB=Z CDB，/ EBC=Z BCD，所以△ BDCECB，故器=CC，
即BC2= BE X CD.
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03苏考题专项突破老題展应名肺蘇读
高考中几何证明选讲问题（二）
从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现.
【示例】？（2011天津卷）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F， E是AB
延长线上一点，且DF = CF = 2, AF : FB : BE= 4 : 2 : 1.若CE与圆相切，则线
段CE的长为 __________ .
D
建砂〜关键句：弦八“与匕“相交八穴与圆相切
I
篷©—相交弦定理及切割线定理
设AF=m,由AF・FB= J)F・ FT,得/ = £■，再由
= EX • EA = ；r • 7：r=亠，得CE = £
4 Z
| :在便用相交弦定理与切割线定理求线段的长度侖高—时，要注意方程思想的应用•即把所求的量看做由逻妙f切割线定理得
到的方程中的未知呈，通过解方程［求解这个未知量。