数量积 共线 垂直
向量表示 a·b
a＝λb(b≠0) a·b＝0(a≠0，b≠0)
坐标表示 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 夹角
|a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0)
a21＋a22＋a23
cos〈a，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
考纲要求： 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式． 3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义， 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量 积判断向量的共线与垂直．
2．两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．空间向量的坐标表示及其应用
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
6．若平面 π1，π2 垂直，则下面可以是这两个平面的法向量 的是________．
①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) ②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) ③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) ④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)
答案：①
A.12a－23b＋12c C.12a＋12b－12c
6．理解直线的方向向量与平面的法向量． 7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面 的垂直、平行关系． 8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括 三垂线定理)．
1．空间向量及其有关概念 (1)空间向量的有关概念 ①空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫做空间 向量． ②相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量． ③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合 的向量． ④共面向量： 平行于同一个平面 的向量．
B．－23a＋12b＋12c D.23a＋23b－12c
答案：B
[探究] 若本例中将“点 M 在 OA 上，且 OM＝2MA”改
为“M 为 OA 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 ＝____________.
”，则
用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是 解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意 义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾 向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则 仍然成立．
(2)空间位置关系的向量表示
位置关系
直线 l1，l2 的方向向量分 别为 n1，n2
直线 l 的方向向量为 n，
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α
平面 α 的法向量为 m
l⊥α
平面 α、β 的法向量分别
α∥β
为 n，m
α⊥β
向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔m·n＝0 n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n·m＝0
4.向量法证明平行与垂直 (1)两个重要向量 ①直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一 条直线的方向向量有 无数 个． ②平面的法向量 直线 l⊥平面 α，取直线 l 的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法向量．显然一个平面的法向量有 无数 个，它们是共线向量．
)
答 案 ： (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)√
(8)√
2．在下列命题中： ①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； ②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不 共面； ③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面； ④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向 量 p 总存在实数 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc. 其中不正确命题的序号是________．
(5)在向量的数量积运算中满足(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(6)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(7)两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1＝(1,0，－1)， v2＝(－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是平行．( )
(8)已知
则平面 ABC 的单位法向量是
n0பைடு நூலகம்±13，－23，23.(
答案：①②③④
答案：－12b－c
4．已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a， b，c 三向量共面，则实数 λ 等于________．
答案：675 5．若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 n ＝(－2，0，－4)，则直线 l 与平面 α 的位置关系为________． 答案：l⊥α
(2)空间向量中的有关定理 ①共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存 在唯一一个 λ∈R，使 a= λb . ②共面向量定理：若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a， b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb . ③空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对 空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝ xa＋yb＋zc .
[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有 () (2)|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件．( ) (3)对空间任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若 ＝
(其中 x，y，z∈R)，则 P，A，B，C 四点共面．( ) (4)对于空间非零向量 a，b，a⊥b⇔a·b＝0.( )
解析：a 与 b 共线，a，b 所在直线也可能重合，故①不正 确；据空间向量的意义知，a，b 所在直线异面，则 a，b 必共 面，故②错误；三个向量 a，b，c 中任两个一定共面，但它们 却不一定共面，故③不正确；只有当 a，b，c 不共面时，空间 任意一向量 p 才能表示为 p＝xa＋yb＋zc，故④不正确．