1．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，
MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )
A.83 B ．3 C.103
D ．52
答案 A
解析 由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ，则2×4＝2AM 2
，AM ＝2.因为M 、N 是弦AB 的三等分点，所以AM ＝NB ，BN ＝MB ，又CN ·NE ＝AN ·NB ，即3NE ＝4×2，解得NE ＝8
3
.
2．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.
答案 8
解析 由题意得OP ＝12BC ＝1
2
，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝
22
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝152.
因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ，故PD PA ＝PC
PO ，即PD
＝
1521
2×
152＝152，所以OD ＝152＋1
2
＝8. 3．如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，则BE ＝________.
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答案 2
解析 由切割线定理得PA 2
＝PC ·PD ，
得PD ＝PA 2PC ＝62
3
＝12，
∴CD ＝PD －PC ＝12－3＝9，即CE ＋ED ＝9，
∵CE ∶ED ＝2∶1，∴CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理得AE ·EB ＝CE ·ED ，即9EB ＝6×3，得EB ＝2.
4．如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.
答案 3
解析∵四边形BCFE是圆内接四边形，∴∠C＋∠BEF＝180°，∴∠C＝∠AEF，∴△AEF∽△ACB，
∴AE
AC
＝
EF
BC
＝
1
2
，∴EF＝3.
5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．
解(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.
由射影定理可得，AE2＝CE·BE，
所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.
可得x＝3，所以∠ACB＝60°.
6. 如图所示，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.
证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；
(2)FE·FN＝FM·FO.
证明(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.
(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.
7．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.
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(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；
(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解 (1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 则∠BED ＋∠EDB ＝90°，
又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED .
又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝AD CD
＝3，又BC ＝2， 从而AB ＝3 2.
所以AC ＝AB 2
－BC 2
＝4，所以AD ＝3.
由切割线定理得AB 2
＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2
AD
＝6，
故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.
8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且
CB ＝CE .
(1)证明：∠D ＝∠E ；
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，又BC＝EC，∴∠CBE＝∠E，∴∠D＝∠E.
(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，
故OM⊥AD，即MN⊥AD.
∴AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，
由(1)知，∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．
9. 如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC ＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.
证明：(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
证明(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，
故∠PAD ＝∠PDA .
因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ， ∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ， ∠DCA ＝∠PAB ，
所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵
＝EC ︵
＝.
因此BE ＝EC .
(2)由切割线定理得PA 2
＝PB ·PC .
因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB ， 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ， 所以AD ·DE ＝2PB 2
.
10. 如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .
(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .
证明 (1)∵PD ＝PG ，∴∠PDG ＝∠PGD ，
由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又∠PGD ＝∠EGA ，∴∠DBA ＝∠EGA .
∴∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由AF⊥EP，得∠PFA＝90°，∴∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连接BC，DC.
∵AB是直径，∴∠BDA＝∠ACB＝90°，
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD.
∴Rt△BDA≌Rt△ACB，
∴∠DAB＝∠CBA.又∠DCB＝∠DAB.
∴∠DCB＝∠CBA，∴DC∥AB.
∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角．
∴ED为直径，由(1)得ED＝AB.。