新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形 ABCD 是空间四边形，E,F,G,H 分别是边AB, BC,CD, DA 的中点 (1) 求证：EFGH 是平行四边形(2) 若BD=2√3，AC=2 EG=2求异面直线 AG BD 所成的角和EG BD 所成的角。

1证明：在 ABD 中，∙∙∙ E, H 分别是AB, AD 的中点二EH //BD ,EH BD21同理，FG // BD , FG BD ∕∙ EH // FG ,EH = FG .∙.四边形 EFGH 是平行四边形。

2⑵ 90 ° 30 °考点：证平行(利用三角形中位线)，异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形 ABCD 中，BC =AC, AD =BD ,E 是AB 的中点。

同理，AD一BD=DE _ AB AE =BE,又∙.∙ CE DE=E.∙. AB _ 平面 CDE(2)由(1)有AB _平面CDE 又∙.∙ A B-平面ABC ,.∙.平面CDE _平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定求证：(1) AB _ 平面 CDE;(2) 平面CDE _平面ABC 。

证明：BC=AC [— (1) ⅛ CE 丄 ABAE=BEAC3、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA l的中点,求证：AC//平面BDE 。

证明：连接AC交BD于O ,连接EO ,∙∙∙ E为AA1的中点，O为AC的中点∙∙∙ EO为三角形A1AC的中位线∙∙∙ EO//AC又EO在平面BDE内，AC在平面BDE夕卜∙A I C // 平面BDE。

考点：线面平行的判定4、已知ABC 中.ACB =90〔SA_ 面ABC, AD _ SC,求证：AD _ 面SBC.证明：T ACB =90 ° BC _ AC又SA_面ABC . SA_ BC.BC _ 面SAC.BC _ AD又SC — AD, SC「BC =C AD_ 面SBC考点：线面垂直的判定5、已知正方体ABCD -A I BIGD I , O是底ABCD对角线的交点•求证：（1 ）C I O // 面AB1D1 ; （2）AC-面AB1D1 .证明：（1）连结A1C1,设AICλ BID^O I,连结AO1∙∙∙ ABCD -^B1C1D1是正方体.A l ACC I是平行四边形∙ A1C1 // AC 且A I C^AC又O1,O 分别是A1C1,AC 的中点，∙∙∙ O1C1∕/ AO 且O1C1 =AO AOC1O1是平行四边形Ca AOI, AOI面AB1D1, C1O 二面AB1D1∙ C1O// 面AB1D1（2）'* CC1丄面A1B1C1D1 =CC 丄BD又T AG 丄BIDI, ΛB1 D1丄面 A1C1C 即 AC丄BD同理可证AIC—AD I ,又D I B I AD1 = D IAC -面AB1D1考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定B CCBC1C6、正方体 ABCD —A'B'C'D'中，求证：（1）AC 丄平面 B'D'DB ；（ 2）BD'丄平面 ACB'7、正方体 ABCD — A I B I C I D I 中.⑴求证：平面 A i BD //平面B i D i C;⑵若E 、F 分别是AA i ，CC i 的中点，求证：平面 EB i D i /平面FBD . 证明：⑴由B i B/ DDi ,得四边形BB i D i D 是平行四边形，二B i D i / BD , 又 BD 二平面 B i D i C, B i D i 平面 B i D i C,∙∙∙ BD //平面 B i D i C . 同理 A i D //平面 B i D i C .而 A i D ∩ BD = D ,∙平面 A i BD //平面 B i CD .⑵由 BD/ B i D i ,得 BD //平面 EB i D i •取 BB i 中点 G,∙ AE // B i G .从而得 B i E // AG ,同理 GF // AD . ∙ AG // DF . ∙ B i E/ DF . ∙ DF //平面 EB i D i考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、如图P 是 ABC 所在平面外一点，PA = PB,CB _平面PAB , M 是PC 的中点，N 是AB 上的点,AN =3NB(i)求证：MN _ AB ; (2)当.APB =90 , AB =2BC =4 时，求 MN 的长。

证明：(i)取PA 的中点Q ,连结MQ,NQ , V M 是PB 的中点，∙ MQ // BC , V CB _ 平面 PAB , ∙ MQ _ 平面 PAB∙ QN 是MN 在平面PAB 内的射影，取 AB 的中点D ,连结 PD , V PxPB , PD- AB ,又 AN = 3NB , ∙ BN = ND W源学§科§H ]∙ QN //PD ,∙ QN _ AB ,由三垂线定理得 MN _ ABr i(2) V -APB = 90" , PA = PB, ∙ PD AB = 2 ,∙ QN = i , V MQ _ 平面 PAB . ∙ MQ _ NQ ,且2 MQ =i BC =i, ∙ MN =、22考点：三垂线定理i0、如图，在正方体 ABCD-A 1B i C i D i 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、C i D i 的中点.求证：平面D i EF //考点：线面垂直的判定D'∙平面EB i D i /平面FBD . F CDPA平面BDG .证明：V E、F分别是AB、AD的中点，∙ EF // BD又EF二平面BDG , BD 平面BDG EF //平面BDGD i G- EB •四边形D i GBE为平行四边形，D iE // GB 又D i E二平面BDG , GB 平面BDG D i E //平面BDGEF - D 1E = E ,平面DEF //平面BDGI考点：线面平行的判定(利用三角形中位线)11、如图，在正方体ABCD-ABC i D i中，E是AA的中点.(1)求证：AC//平面BDE ；(2)求证：平面A1AC _平面BDE .证明：(1)设ACrBD=O ,∙∙∙ E、Q 分别是AA1、AC 的中点，.A1C // EQ又AC -平面BDE , EQ二平面BDE , AQ //平面BDE(2)∙∙∙ AA^ _ 平面ABCD , BD 平面ABCD , AA _ BD又BD _ AC , A C-AA=A , BD _平面A1AC , BD 平面BDE , 平面BDE _ 平面AAC考点：线面平行的判定(利用三角形中位线) ，面面垂直的判定12、已知ABCD 是矩形，PA _ 平面ABCD , AB = 2 , PA = AD= 4 , E 为BC的中点•(1)求证：DE _平面PAE ; (2)求直线DP与平面PAE所成的角.证明：在ADE 中，AD2=AE2DE2, . AE _ DE∙.∙ PA _ 平面ABCD , DE 平面ABCD , PA_ DED 又PA-AE=A , DE _ 平面PAE(2)DPE为DP与平面PAE所成的角在Rt PAD , PD=4、、2 ,在Rt DCE 中，DE =2,2 在Rt DEP 中，PD =2DE , -ZDPE =30°考点：线面垂直的判定，构造直角三角形13、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是.DAB =60°且边长为且平面PAD垂直于底面ABCD •(1)若G为AD的中点，求证：BG _平面PAD ;(2)求证：AD _ PB ;(3)求二面角A-BC-P的大小.证明：(1) ABD为等边三角形且G为AD的中点，.BG_AD又平面PAD _平面ABCD , BG _平面PAD(2)PAD是等边三角形且G为AD的中点，.AD _ PG且AD _ BG , PG-BG=G , AD _ 平面PBG ,PB 平面PBG , ■ AD _ PB(3)由AD _ PB , AD // BC , BC _ PB又BG _ AD , AD // BC , BG _ BC-PBG为二面角A-BC-P的平面角在Rt PBG 中，PG=BG , PBG =45°考点：线面垂直的判定，构造直角三角形，面面垂直的性质定理，二面角的求法(定义法)14、如图1,在正方体ABCD -AB 1C 1D 1中，M 为CC I 的中点，AC 交BD 于点0,求证：AP _平面MBD .证明：连结 MO, A 1M , V DB 丄 A 1A , DB 丄 AC,A IA AC=∙∙∙ DB 丄平面 A ACC 1 ,而 AO 平面 A 1ACC 1 ∙∙∙ DB 丄 A 1O .33设正方体棱长为a ,贝U A 1O 2= 3a 2, MO 2=3a 2.2 4在 Rt△ A 1C 1M 中，AM2=9a 2. V A 1O 2MO 2-A 1∣M , ∙ AO 4V OM ∩ DB=0,∙∙∙ A 1O 丄平面 MBD .考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥 A -BCD K BC= AC AD= BD作BEICD E 为垂足，作 AHL BE 于H .求证：AHL 平面BCD证明：取AB 的中点F ,连结CF DFV AC= BC , ∙ CF _ AB . V AD=BD , ∙ DF _ AB .又 CF n DF =F , ∙ AB _ 平面 CDFV CD 二平面 CDF ∙ CD _ AB .又 CD _ BE , BE-AB=B ,∙ CD _ 平面 ABE CD _ AH .V AH _ CD , AH _ BE , CD-BE=E ,∙ AH —平面 BCD考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，AQ 丄平面BC 1D证明：连结ACV BDLA C. AC 为AQ 在平面AC 上的射影■ BD -A 1C同理可证AoBC 厂心平面BC I D考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA 、SB 、SC,且∠ ASB= ∠ ASC=60 °平面ABC 丄平面BSC.证明V SB=SA=SC , ∠ ASB= ∠ ASC=60 ° ∙ AB=SA=AC 取 BC 的中点 O,连 AO 、SO, 则 AO 丄CCBC , SO 丄 BC,√2∙∙∙∠ AoS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a ,又∠ BSC=90 °,二 BC= , 2 a, So= 2 a,1 1AO 2=AC 2— OC2=a2- 2 a2= 2 a2, ∙ SA2=AO 2+OS2,∙∠ AOS=90 °,从而平面 ABC 丄平面 BSC. 考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）。