第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。

可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。

可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3．解：令33arccos arccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。

4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1()12f x F x π'='-，即tan 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时 2arctan 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。

5.解：因为(0)(1)(2)(3)0f f f f ====，又因为()f x 在任一区间内都连续而且可导，所以()f x 在任一区间[][][]0,1,1,2,2,3内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得：123(0,1),(1,2),(2,3),ξξξ∃∈∈∈使得：123()0,()0,()0f f f ξξξ'''===，又因为()0f x '=只有三个根，()0f x ∴=有3个根123,,ξξξ分别属于(0,1),(1,2),(2,3)三个区间.6．证明：设()0f x =的1n +个相异实根为012n x x x x <<<<则由罗尔中值定理知：存在1(1,2,)i i n ξ=：01111221n n x x x x ξξξ<<<<<<<，使得1()0,(1,2,,)i f i n ξ'==再由罗尔中值定理至少存在2(1,2,1)i i n ξ=-：1121122213211n n ξξξξξξξ-<<<<<<<，使得2()0,(1,2,,1)i f i n ξ''==- 如此作到第n 步，则知至少存在一点ξ：1112n n ξξξ--<<使得()()0n fξ=。

7．解：反证法，倘若()0p x =有两个实根，设为1x 和2x ，即12()()0p x p x ==，不妨设12x x <，由于多项式函数()p x 在12[,]x x 上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点12(,)x x ξ∈，使得()0p ξ'=，而这与所设()0p x '=没有实根相矛盾，命题得证。

8．证明：令5()1f x x x =+-，由于(0)1,(1)1f f =-=由零点定理知，在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0f ξ=，又由方程得4(1)1x x +=，因此方程只存在0与1之间的正根，假设510x x +-=有两个正根，即12,0x x ∃>，且12x x ≠使得：12()()0f x f x ==，不妨假设12x x <，显然()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导。

所以由罗尔定理，得：12(,)x x ξ∃∈，使得：()0f ξ'=，即4510ξ+=，矛盾，假设不成立，所以方程510x x +-=只有一个正根。

9．证明：（1）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-又()f m ξ'≥，故()()()f b f a m b a -≥-，即()()()f b f a m b a ≥+-。

（2）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得()()()()f b f a b a f ξ'-=-又()f M ξ'≤，所以|()()|M()f b f a b a -≤-。

（3）当12x x =时结论显然成立，当12x x ≠时，对函数sin x 在以12,x x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得1212sin sin cos ()x x x x ξ-=⋅-，其中ξ在1x 与2x 之间，因此121212sin sin cos x x x x x x ξ-=-≤-。

10．证明：因为()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得112(,)x x ξ∃∈，223(,)x x ξ∃∈，使得12()()0f f ξξ''==，又()f x '在[]12,ξξ且满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理，得：1213(,)(,)x x ξξξ∃∈⊂，使得()0f ξ''=。

11．证明：设()ln f x x =，由拉格朗日中值定理，得(,)b a ξ∃∈，使得：()()()f a f b f a bξ-'=-即：ln ln ln a b a a b b ξ-=-=，又(,)b a ξ∈，111a bξ∴<<，a b a b a ba b ξ---∴<<。

12．证明：对函数()arctan f x x =在[0,]h 上应用拉格朗日中值定理：存在(0,)h ξ∈使得2arctan arctan arctan 01hh h ξ=-=+ 从而2arctan 1hh h h <<+。

13．证明：（1）令()arctan f x x =。

当a b =时结论显然成立。

当a b ≠时，由拉格朗日中值定理，得()()()f b f a f b aξ-'=-。

（ξ在,a b 构成的区间内），即：21()()()arctan arctan 1b a f b f a b a ξ-⋅=-=-+。

21arctan arctan 1a b a b a b ξ∴-=-⋅<-+ 综上所述，结论成立。

（2）令()xf x e =由拉格朗日中值定理，得：(1,)x ξ∃∈，使得：()(1)()1f x f f x ξ-'=-，即：()(1)(1)()(1)x f x f e e x f x e ξξ'-=-=-=-，又(1,)x ξ∈，故e e ξ>，所以e e (1)e (1)e x x x ξ-=->-，即e e x x >。

14．证明：()y f x =在0x =的某邻域内具有n 阶导数，由柯西中值定理，得：1(0,)x ξ∃∈使111111()()(0)()()(0)00n n n n n f f f f x f x f x x n n ξξξξ--'''--===--，反复使用柯西中值定理，得： 21321(0,).(0,).(0,)(0,)n x ξξξξξξ-∃∈∈∈⊂，使得()121212()(0)()(0)()()0(1)0!n n n n f f f f f x f x n n n n ξξξξξ--''''''--====--- 即(0,1)θ∃∈，使(0,)x x θξ=∈，使得：()()(),(01)!n n f x f x x n θθ=<<。

习题3-21.解：()(2)6,(2)4,(2)4,(2)6,(2)0(4)n f f f f f n ''''''=-=-===≥将上述结果代入泰勒多项式，得23(2)(2)()(2)(2)(2)(2)(2)2!3!f f f x f f x x x ''''''=+-+-+- ∴32()(2)2(2)4(2)6f x x x x =-+----.2.解：因为()()1(1)!(0)1,(),(0)(1)!,1,2,(1)k k k k k k f f x f k k x +-===-=+所以1212(1)()1(1),(01)(1)n nnn n f x x x x x x θθ+++-=-+++-+<<+. 3.解：因为2(0)0,()sec ,(0)1,f f x x f ''===2()2sec tan ,(0)0f x x x f ''''==，224()4sec tan 2sec ,(0)2f x x x x f ''''''=+=， (4)234(4)()8sec tan 16sec tan ,(0)0f x x x x x f =+=，(5)24426(5)()16sec tan 88sec tan 16sec ,(0)16f x x x x x x f =++=，所以35512()()315f x x x x o x =+++.4.解：()f x =321()()4f x f x x -'''==-，523()8f x x -'''= 7(4)215()16fx x -=-，令4x =代入得113(4)2,(4),(4),(4)432256f f f f ''''''===-=，由泰勒公式，得4237211115(4)2(4)(4)(4)4645124!16[4(4)]x x x x x θ-=+---+--+-.5.解：因为1()f x x =，234123!(),(),()f x f x f x x x x ''''''=-==-，一般地，有()1!()(1)n n n n f x x+=-⋅，所以(1)1,(1)1,(1)2,(1)3!f f f f ''''''-=--=--=--=-，一般地，有：()(1)!n f n -=-所以，由泰勒公式，得12121(1)[1(1)(1)(1)](1),(01).[1(1)]n n n n x x x x xx θθ++++=-++++++++-<<-++ 6.解：()xf x xe -=，所以()()011()()(1)(1)()0n x n n x n x n n f x xe C e x C e x ----'==-+-+1(1)(1)n x n x xe n e --=-+-⋅，又()1(0)(1)n n f n -=-，所以321()(1)()2(1)!nn n x x f x x x o x n -=-+++-+-.7.解：（1）22(27)(27)(27)(27)(27)(27)(27)23!f x f x f f x '''''--'≈+-++237121153(27)(27)(27)2733x x x =+---+-3.10724,≈误差为：(4)4(4)412()3(27)3100.000024!4!3f f ξ⋅≤=<（2）331sin ,sin180.309993!103!10x x x ππ⎛⎫≈-∴≈-⋅≈ ⎪⎝⎭误差为(5)55sin ()2105!x ξ-⋅<⨯.8.解：（1）由于分式的分母33sin (0)xx x →，我们只需将分子中的sin x 和cos x x 分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即33sin 0()3!x x x x ≈-+，33cos 0()2!x x x x x ≈-+，于是3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -≈-+-+-=+，故33330010()sin cos 13lim lim sin 3x x x x x xx x x →→+-==。