第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
三、柯西中值定理
定理3.1.3 （柯西中值定理）
设函数y=f(x)与y=g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间 (a,b)内可导，且 g(x)在(a,b)内恒不为零，则至少存在 一点 ∈(a,b)，使得
f (b) f (a ) f ( ) g(b) g(a ) g( )
（或稳定点、临界点)．
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
引理的直观意义: 可导函 数极值点处的切线平行于 x 轴.
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间 [a,b]上有定义，如果
（1）函数 f (x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第一节 微分中值定理
本节主要内容:
一.罗尔中值定理
二.拉格朗日中值定理 三.柯西中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理
费马（Fermat）引理 函数y=f(x)在N(x0, )有定义， y=f (x0)存在， f(x) f(x0) (f(x) f(x0)) 定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点
上面两式相比即得结论.
两个 不 一定相同
错!
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第一节 微分中值定理
几何意义：
弦的斜率
切线斜率
b) f (a) O g (a ) g ( )
dy f ( t ) 注意： dx g ( t )
g(b)x
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第一节 微分中值定理
f ( x)
'
1
由推论1知 又因为 所以 C
1 x2 f (x)=C

1 1 x2
0
f (0) arcsin 0 arccos 0 0


2
即
2 2 π arcsin x arccos x (1 ≤ x ≤ 1) 2


第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端 点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐
标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点处
的切线平行于x 轴(如下图）。
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
两点说明： 1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论 上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值； 2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件 均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全 满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下
注意：拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(x)=x时 的一种特例。
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
分析: g(b) g(a ) g( )(b a ) 0 a b
f (b) f (a ) g( ) f ( ) 0 问题转化为证 g(b) g(a )
所以至少存在一点ξ (在x1 ，x0之间),使得f (ξ)=0
但f (x)=5x4-5<0 , x∈(0,1),矛盾,所以为唯一实根.
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例3 不求函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方 程 f (x)=0有几个实根．
解 函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足 罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有 一实根；
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
由罗尔定理知, 至少存在一点
使
即
f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g ( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a ) f ( )(b a ), (a , b) g(b) g(a ) g( )(b a ), (a , b)
连线，其斜率为
f (b) f (a ) k f ( ) ba
'
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
推论1
设 y=f (x) 在 [a, b] 上连续，若在(a, b)内
的导数恒为零，则在[a, b]上 f (x) 为常数.
f ( x ) 0 f ( x ) C
推论2 如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的
因此可取 (a,b) 内任意一点作为而使得f (ξ)=0成立。
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
(2) 若 m<M，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时
是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一
个在开区间(a,b)内部取得，
不妨设 f (ξ)=M， ξ∈ (a,b). 由条件(2)和费马定理推知 f (ξ)=0.
例子：
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
x 0 x 1时 例 f ( x) x 1时 0 (1) f ( x )在[0,1]上连续 (2) f ( x )在(0,1) 内可导
y
( 3) f (0) f (1).
不 , 使f ( ) 0.
f ( x ) x , x [1,1]; 例 连续 (1) f ( x )在[1,1]上
x ln(1 x ) x 例5 证明：当x>0时， 1 x
证明 设f (x)=ln(1+x),则f (x)在[0,x]上满足拉格朗日 中值定理的条件，即
f ( x ) f (0) f ( )( x 0),(0 x ) 1 由于 f (0) 0, f ( x ) 1 x x 所以上式变为 ln(1 x ) 1 x x x 因为0<<x，所以 1 x 1 x ln(1 x ) x 即 1 x
内可导 (2) f ( x )在( 1,1)
0 y
1
x
(3) f ( 1) f (1).
不 , 使f ( ) 0.
1
0
1
x
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例
f ( x ) x , x [0,1];
(1) f ( x )在[0,1]上 连续 (2) f ( x )在(0,1) 内可导
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0； 所以 f(x)满足定理的三个条件. 令f (x)=3x2+8x-7=0 解得 x 4 37
37 4 则 ( 1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0. 3
3
第三章 导数的应用
构造辅助函数
( )
f (b ) f (a ) ( x) g( x ) f ( x ) g(b) g(a ) f (b ) f (a ) g( x ) f ( x ) 证: 作辅助函数 ( x ) g(b) g(a ) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) g(a ) f (a ) g(b) (a ) (b) g (b ) g (a )
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理的证明 因为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 f(x) 在闭区 间 [a,b] 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考虑两种可能 的情况： (1) 若 m=M,则 f(x) 在 [a,b] 上恒等于常数 M(或 m),
因而在 (a,b) 内处处有f (x)=0，
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b) f (a )
拉格朗日中值定理
g( x ) x f (b) f (a ) g( x ) x 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论
罗尔定理 柯西中值定理
关键: 利用逆向思维 设辅助函数
即
f (b) f (a ) ( ) f ( ) 0 ba f (a)- f (b)= f ()(b-a)
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
几点说明： 1.拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充
分不必要条件；
2.当f (a)=f (b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值 定理； 3.设f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,x0,x0+x∈(a,b) 则有
又 f (x)=0是二次方程,至多有二个实根； 所以方程f (x)=0 有且仅有两个实根,它们分别落在区 间（1,2) （2,3)内．
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 （拉格朗日中值定理）
设函数 y=f(x)满足 （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导； 那么在(a，b)内至少存在一点 (a< <b) ，使得 f (b)- f (a)= f ()(b-a)或
f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a< <b， 使得f ()=0 . 例如, f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在( 1,3)上可导, 且 f ( 1) f ( 3) 0, f ( x ) 2( x 1), 取 1, (1 ( 1,3)) f () 0.