微分中值定理应用举例单调性与极值1.函数)(x f 在[]0,1上//()0fx >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0fx >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<，即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<.2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小.解：由于///()0fx >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号.解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增,/(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >；D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <.解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =-选择B.5 .设)(x f 处处可导,则A.lim ()x f x →-∞=-∞必/lim ()x f x →-∞=-∞；B. /lim ()x f x →-∞=-∞必lim ()x f x →-∞=-∞C. lim ()x f x →+∞=+∞必/lim ()x f x →+∞=+∞；D. /lim ()x f x →+∞=+∞必lim ()x f x →+∞=+∞解：选择D (A,C 的反例y x =，B 的反例2y x =)6.设函数)(x f 在[)0,+∞上有界且可导，则A. lim ()0x f x →+∞=必/lim ()0x f x →+∞= ;B. /lim ()x f x →+∞存在，必/lim ()0x f x →+∞=；C. 0lim ()0x f x +→=必/0lim ()0x f x +→=; D. /0lim ()x f x +→存在，必/0lim ()0x f x +→=；解：选择A (B,C,D 的反例()f x x =)7. 设函数)(x f 在0x =的邻域内连续,且(0)0f =，0()lim21cos x f x x→=-，则在0x =处A. )(x f 不可导;B.可导,且/(0)0f ≠; C.取极大值; D.取极小值解：20000()()1()(0)1()(0)limlim 2lim 2lim 21cos 002x x x x f x f x f x f f x f x x x x x x →→→→--====---所以0000()(0)1()(0)1()(0)limlim lim lim 0000x x x x f x f f x f f x f x x x x x x x →→→→---=⋅=⋅=--- 所以)(x f 在0x =可导，且/(0)0f =.0()lim21cos x f x x→=-，而1cos 0,20x ->>，所以在0x =的某邻域内()0f x >，(0)0f =所以在0x =处)(x f 取极小值.8. (),()f x g x 为恒大于0的可导函数,且//()()()()0f x g x f x g x -<，则当a x b <<时A. ()()()()f x g b f b g x >；B. ()()()()f x g a f a g x >;C. ()()()()f x g x f b g b >;D. ()()()()f x g x f a g a >解：///2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，所以()()f x g x 为减函数， 即当a x b <<时()()()()()()f b f x f ag b g x g a <<，又(),()f x g x 为恒大于0，所以()()()()f x g b f b g x >，选择A9.设)(x f 有二阶连续导数,且/(0)0f =，//0()lim1x f x x→= A.(0)f 是()f x 的极大值;B. (0)f 是()f x 的极小值; C. ()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点;D. (0)f 不是()f x 的极值;()0,(0)f 也不是曲线()y f x =的拐点.解：//0()lim10x f x x→=>，所以在0x =的邻域内//()0f x >，即曲线是凹的，又/(0)0f =，所以(0)f 是)(x f 的极小值.选择B10.设函数)(x f 在x a =的某个邻域内连续, ()f a 为)(x f 的极大值,则存在0δ>,当(),x a a δδ∈-+时,必有:A. ()()()()0x a f x f a --≥；B. ()()()()0x a f x f a --≤;C.2()()lim0()()t af t f x x a t x →-≥≠-； D.2()()lim 0()()t a f t f x x a t x →-≤≠-. 解：()f a 为)(x f 的极大值，则存在0δ>，(),x a a δ∈-和(),x a a δ∈+时， 都有()()f x f a ≤，所以(),x a a δδ∈-+时, ()()0f x f a -≤，所以A,B 都不正确.22()()()()lim()()t af t f x f a f x t x a x →--=--，由于()()0f a f x -≥，所以2()()0()f a f x a x -≥-. 选择C11.设函数)(x f 在(),-∞+∞内有定义, 00x ≠是函数)(x f 的极大值点,则 A. 0x 必是)(x f 的驻点;B.0x -必是()f x --的极小值点 C. 0x -必是()f x -的极小值点; D.对一切x 都有0()()f x f x ≤ 解：选择B 12. 2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则在x a =处A. )(x f 导数存在,且/()0f a ≠； B.取极大值; C.取极小值; D . )(x f 导数不存在解：2()()lim1()x af x f a x a →-=--，所以在x a =的某去心邻域内有()()0f x f a -<，所以在x a =处，)(x f 取极大值.9 .1,2,)n =的最大值证明：令1()xf x x =(1)x ≥，1ln ()x x f x e=， ()11/222111()ln 1ln xx f x x x x x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以x e =时/()0f x =， 且x e <时/()0f x >，x e >时/()0f x <，所以()f e 时1()xf x x =的唯一极大值，也是最大值.而1,2,)n =的最大值必是中的一个，而<，所以是1,2,)n =的最大值.不等式的证明1.当0x >时，证明：1arctan 2x x π+>； 证明：令1()arctan 2f x x x π=+- /2211()01f x x x =-<+，所以0x >时1()arctan 2f x x x π=+-单调减，而1lim ()lim arctan 02x x f x x x π→+∞→+∞⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 所以0x <<+∞时，1()arctan 02f x x x π=+->，即1arctan 2x x π+>. 2. 当0x <<+∞时，证明：11ln(1)1x x+>+；证明：0x <<+∞时，令11()ln(1)1f x x x=+-+，()/222111()01(1)1x f x x x x x x ⎛⎫=-+=-< ⎪++⎝⎭+， ()f x 单调减， 而11lim ()lim ln(1)01x x f x x x →+∞→+∞⎡⎤=+-=⎢⎥+⎣⎦，所以0x <<+∞时，11()ln(1)01f x x x =+->+，即11ln(1)1x x+>+. 方法二，0x <<+∞时， 1ln(1)ln(1)ln x x x+=+-，令()ln f x x =，则在区间[],1x x +上用拉格朗日中值定理有：/11ln(1)ln(1)ln ()x x f xξξ+=+-==其中1x x ξ<<+，所以1111x x ξ<<+，即有11ln(1)1x x+>+. 3.证明：1ln(x x +≥；证明：设()1ln(f x x x =+则/()ln(f x x =++ln(x =，令//()0f x =，得唯一驻点0x =//()0f x =>，所以0x =是()f x 的极小值点，所以()(0),f x f ≥又(0)0f =所以()0f x ≥，即1ln(x x +≥. 4.当1x >，证明ln(1)ln 1x xx x+>+； 证明：因为1x >，所以ln ,10x x +>，所证等价于()1ln(1)ln x x x x ++>零()ln f x x x =，则/()ln 10f x x =+>，所以1x >时()ln f x x x =单调增加，而11x x +>>，所以(1)()f x f x +>，即()1ln(1)ln x x x x ++>，即ln(1)ln 1x xx x+>+. 5.1,x a e >>，证明：()()a a x a x a ++<；证明：只需证ln()()ln a a x a x a +<+ 令()ln()()ln f x a a x a x a =+-+，则/()ln a f x a a x =-+，()//2()0af x a x =-<+ 所以/()f x 单调减少，而/(0)1ln 0f a =-<，所以10x >>时//()(0)0f x f <<即()f x 单调减少，而(0)0f =，所以10x >>时()(0)0f x f <=，即ln()()ln a a x a x a +<+，即()()a a x a x a ++<.6.设b a e >>，证明：b aa b >证明：只需证明ln ln b a a b >，设()ln ln f x x a a x =-，///2()ln ,()0a a f x a f x x x=-=>，所以/()ln af x a x =-单调增加，又/()ln 10f a a =->，所以b x a e >>>时/()ln 0af x a x=->， 故()ln ln f x x a a x =-单调增加.因此，b x e >>时()ln ln ()f x b x x b f a =->，而()0f a =， 所以()ln ln 0f b b a a b =->，即b a e >>时，ln ln b a a b >. 所以b aa b >.7．设()f x 在[)0,+∞上可导，且/()f x 单调递减，证明：对任意正数,a b ，都有[]1()(2)(2)2f a b f a f b +≥+ 证明：不妨设0a b <<，令[]1()()(2)(2)2F x f a x f a f x =+-+则///()()(2)F x f a x f x =+-，当x a >时有2a x x +<，由于/()f x 单调递减 所以//()(2)f a x f x +>，即/()0F x >，所以()F x 单调增，即x a >时()()F x F a ≥所以0a b <<时，[]1()()(2)(2)02F b f a b f a f b =+-+≥， 即[]1()(2)(2)2f a b f a f b +≥+. 8.设//0()lim1,()0x f x f x x→=>，证明：()f x x ≥； 证明： //()f x 存在，所以()f x 可导，所以()f x 可导连续，又0()lim1x f x x→=，所以00()(0)lim ()lim 0x x f x f f x x x →→==⋅=，既有/00()()(0)lim lim (0)1x x f x f x f f x x→→-===令()()F x f x x =-，//////()()1,()()0F x f x F x f x =-=>， //(0)(0)10F f =-=，所以0x =是()()F x f x x =-的唯一极小值点，所以()()(0)F x f x x F =-≥，(0)0F = 既有()f x x ≥.9.()0,1x ∈，证明：()221ln (1)x x x ++<；证明：令()22()1ln (1)f x x x x =++-，/2()ln (1)2ln(1)2f x x x x =+++-[]//ln(1)12()222ln(1)111x f x x x x x x+=+-=+-+++令[]()ln(1)g x x x =+-，/1()11g x x=-+，所以()0,1x ∈时/()0g x <，()g x 单调减()(0),(0)0g x g g <=，所以()0g x <，而此时201x >+，所以//()0f x <，而/(0)0f =所以()0,1x ∈时，()0,1x ∈时，//()(0)0f x f <=，所以()f x 在()0,1x ∈时单调减少，且(0)0f =，所以()0,1x ∈时()22()1ln (1)0f x x x x =++-<，即()221ln (1)x x x ++<. 10. ()0,1x ∈，证明：11111ln 2ln(1)2x x -<-<+； 证明：令11()ln(1)f x x x =-+，则()22/22221ln (1)111()1ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-=-+=++++()/22221()1ln (1)(1)ln (1)f x x x x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦++，令()22()1ln (1)g x x x x =++-由上题知()0,1x ∈时，()22()1ln (1)0g x x x x =++-<，所以/()0f x <即()f x 在()0,1x ∈时单调减少.所以()0,1x ∈时，0(1)()lim ()x f f x f x →<<2000011ln(1)ln(1)lim ()lim lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x f x x x x x x→→→→⎡⎤-+-+=-==⎢⎥++⎣⎦ ()0011111limlim 2212x x x x x →→-+===+，所以111()ln 22f x -<<，即11111ln 2ln(1)2x x -<-<+ 11.证明：0x π<<时，sin 2x x π>； 证明：令()sin2x x f x π=-，/11()cos 22x f x π=-，//1()sin 42x f x =- 0x π<<时，//1()sin 042x f x =-<，曲线sin 2x xy π=-在[]0,π上是凸的，而(0)(1)0f f ==，()0,x π∈时，()sin 02x x f x π=->，即sin 2x xπ>.12.设在[)0,+∞上函数)(x f 有连续导数，且/()0,(0)0f x k f ≥><.证明： )(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.证明：令()()(0)F x f x kx f =--，则//()()0F x f x k =-≥.所以，()F x 在()0,+∞内单调增加，[)0,x ∈+∞时，()(0)0F x F ≥>，所以()(0)f x kx f >+.所以，存在a ∈(0,)+∞，()0f a >，又(0)0f <，所以()0f x =在(0,)+∞内有根，又/()0f x k ≥>，所以)(x f 单调增加，所以)(x f 在()0,+∞内有且仅有一个零点.13.设()f x 在(),a +∞连续//()f x 在[),a +∞内存在且大于零，记()()()()f x f a F x x a x a-=>-，证明：()F x 在(),a +∞单调增证明：()()()()///22()()()()1()()()()()f x x a f x f a F x f x x a f x f a x a x a ---⎡⎤==---⎣⎦-- 令()/()()()()()g x f x x a f x f a =---，则(),x a ∈+∞时，///////()()()()()()()0g x f x x a f x f x fx x a =-+-=->所以()()0g x g a >=，所以/()0F x >，即()F x 在(),a +∞单调增.关于根的存在及个数问题1.已知2350a b -<，讨论532340x ax bx c +++=实根的个数.解：令53()234f x x ax bx c =+++，/42()563f x x ax b =++， 令425630x ax b ++=，由于22366012(35)0a b a b ∆=-=-<， 所以425630x ax b ++=没有根，既有/42()5630f x x ax b =++>由于lim ()0,lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<>，由于53()234f x x ax bx c =+++在(),-∞+∞内连续，所以532340x ax bx c +++=至少有一个根.如果方程532340x ax bx c +++=有两个实根1212,()x x x x <，则在[]12,x x 内()f x 满足拉格朗日中值定理，所以存在()12,x x ξ∈，使得/()0f ξ=，这/42()5630f x x ax b =++>矛盾，所以532340x ax bx c +++=只有一个实根.练习：设函数()f x 在闭区间[]0,1上可微,对[]0,1上的任意x ,函数的值都在开区间()0,1内,且/()1f x ≠，证明:在()0,1内有且仅有一个x 使得()f x x =（令()()F x f x x =-）2.求证方程cos 0x p q x ++=恰有一个实根.(其中,p q 为常数,01q <<)证明：令()cos f x x p q x =++，取1a p q =++，则()1cos 0f a p q p q x =++++>()()1cos 0f a p q p q x -=-++++<，由()f x 在[],a a -上连续，由介值定理知，存在(),a a ξ∈-，使得()0f ξ=，所以方程532340x ax bx c +++=有一个实根.又/()1sin f x q x =-，由于01q <<，所以/()1sin 0f x q x =->，即()f x 单调增，所以cos 0x p q x ++=只有一个实根.3.设0k >，求()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内根的个数. 解：/11()f x x e=-，得唯一驻点x e =，且()0f e k =>为函数极小值点， 所以()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内根的个数为0.练习：确定方程sin 2x x k π-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内根的个数 4.0x >时,211kx x+=有且仅有一解,求k 的取值范围. 解：令21()1f x kx x =+-，0lim ()0,x f x +→>0x >时,211kx x+=有且仅有一解，所以必存在0a >，使得0x a ≥>时，()0f x <，所以0k≤，反之，如果0k ≤时/32()0f x k x=-<，所以21()1f x kx x =+-单调减，所以211kx x +=有且仅有一解. 5. 设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，1()12f =， 证明：1）存在1,12η⎛⎫∈⎪⎝⎭，()f ηη=； 2）对任意的λ，存在()0,ξη∈，使得[]/()()1f f ξλξξ--=分析：要构造一个函数()G x ，使其导数中含有因子[]/()1()f x f x x λ⎡⎤---⎣⎦，且(0)(1)G G =，由于，/()1f x -是()f x x -的导数，所以可设[]()()()G x h x f x x =-下面确定()h x ，由于[]///()()()()()1G x h x f x x h x f x ⎡⎤=-+-⎣⎦，比较[]/()1()f x f x x λ⎡⎤---⎣⎦，只需/()()h x h x λ=-，所以()x h x e λ-=证明：[]()()xG x ef x x λ-=-6.设函数()f x 在[]0,1上连续且可导，又(0)(1)0,f f ==则对任意0(0,1)x ∈，存在()0,1ξ∈，使/0()()f f x ξ=分析：所证为[]/0()()0,x f x xf x ξ=-=，所以，令0()()()F x f x xf x =-()0000(0)0,(1)(),()1()F F f x F x x f x ==-=-，如果0()0F x =，在[]00,x 上用罗尔定理，如果0()0F x ≠，则0(1),()F F x 异号，所以存在0(,1)x η∈，使()0F η=，在[]0,η上用罗尔定理7..设函数(),()f x g x 在[],a b 上具有二阶导数，并且()()()()0f a f b g a g b ====，//()0,g x ≠证明：1）在(),a b 内()0g x ≠；2）在(),a b 内至少存在一点ξ，使()////()()()f fg g ξξξξ= （令//()()()()()F x f x g x f x g x =-）8. 设()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 且/()0f x ≠,证明:存在(),,a b ξη∈，使//()()b a f e e e b a f ηξη--=-证明：//()()b a f e e e b a f ηξη--=-等价于()()//()()b a f f b a e e e ηηξ-=-对()f x 和xe 在[],a b 上用柯西中值定理，则存在(),a b η∈，使得/()()()b af b f a f e e eηη-=-，所以()/()()()b af f b f a e e eηη-=-，对()f x 在[],a b 上用拉格朗日中值定理，有()/()()()f b f a f b a ξ-=-，其中(),a b ξ∈.所以()()//()()b af f b a e e eηηξ-=-9. ()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, 且()()1f b f a ==,证明: 存在(),,a b ξη∈， 使()/()()1e f f ηξηη-+=证明：所证等价于()/()()e f fe ηξηη+= ()x ef x 在[],a b 上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在(),a b η∈，使得()/()()()()b a e f b e f a e f f b a ηηη-=+-，而()()b a b a e f b e f a e e e b a b a ξ--==--，(),,a b ξ∈ 所以存在(),,a b ξη∈，使()/()()1e f f ηξηη-+= 10.设函数()f x 在[]0,3上连续,在()0,3内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==,证明:必存在()0,3ξ∈使/()0f ξ=11. 设函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且满足//(),(),(,f x a f x b a b ≤≤为非负常数），c 是()0,1内任意一点。