第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是　的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000二、填空题 1、__________________ey 82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ．4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。

11、y ＝x ＋ x 1 - ，－51x ≤≤ 的最小值为 ． 12、x x y -= 的单调减区间是 ． 13、x arctan x y -= 在且仅在区间______________上单调増． 14、函数f(x)＝x ＋2cosx 在区间 [ 0 ,2 π] 上的最大值为 ． 15、函数y ＝3x 4x x 223+-+ 的单调减少区间是 ．16、已知点（1，3）是曲线 23bx ax y += 的拐点，则a= ，b= ． 17、的单调递减区间为 e e 2)x (f x x -+= . 三、计算题1、的极值和单调区间求函数 4x 9x 6x y 23-+-=。

2、求极限 )1x xx ln 1(lim 1x --→． 3、求函数y ＝23x 4x x 23+-+的单调区间、凹凸区间、拐点． 4、设常数0k >，试判别函数()ln xf x x k e=-+在()0,+∞内零点的个数． 5、求函数 10x 6x 23x y 23+--= 的单调区间和极值．。

6．)1 - e 1x 1(lim x 0x -→． 7．[]上的最大值与最小值在求函数 1 , 1 x 45 y --=． 8．求曲线xxy ln =的单调区间和凹凸区间.． 9. 求曲线34223+-+=x x x y 的单调区间和凹凸区间. 10．求函数 x x e y -= 图形的凹凸区间及拐点．11、的拐点求曲线 3{ 32tt y t x +==. 12、求函数 4x 9x 6x y 23-+-= 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．13、[]上的最大值、最小值，在求函数 41 27x 18x 6x 2y 23+--=． 14、的单调性和凹凸性讨论函数 )x (1ln f(x ) 2+= 15、讨论函数xx ln )x (f =的单调性和凹凸性．16、 求曲线 )1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点．17. 求函数2824+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值与最小值． 18. 求函数 133+-=x xy 在区间 [-2，0]上的最大值和最小值．19. 试确定常数a 、b 、c 的值，使曲线 c bx ax x y 23+++= 在x= 2处取到极值，且与直线 3x 3y +-= 相切于点（1 ，0）．四. 综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)1．证明：当x )2,0(π∈时，(sin )(cos )x x x > ．2、 x 1 ) x 1 x ( ln x 1 0x 22+>+++>时，当．3、证明： 2cot arctan π=+x arc x ．4、设 )x ( ϕ 在 [0,1] 上可导，f(x)＝(x －1))x ( ϕ，求证：存在x 0∈(0，1)，使)0( )x ( f 0ϕ=’． 5、 试用拉格朗日中值定理证明：当 0b a >> 时，bba b a ln a b a -<<- ． 6、 证明：当0>x 时，xxx +>+1arctan )1ln(．7、 x )x 1ln(x1 x, 0 x <+<+>时证明：当． 8、证明：当x>0时，有 1+x 1 x2 1+> ． 9、证明当x sin 6x x 0x 3≤-≥时，．10、 证明：若 0 x >，则x1 x)x 1 (n l +>+ ． 11、)1ln(21 2x x x x +<->时，证明：当 12、证明：多项式13)(3+-=x x x f 在 [ 0，1 ] 内不可能有两个零点．13、证明当x 13 x 2 1x ->>时，. 14、x cos x sin x 2x 0 >π<<时证明：当答案： 一、选择1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B 10、A 11、A 二、填空 1、[2,2]- 2、1ln 2x =-3、()(),33,2-∞-⋃--4、25、39,22⎛⎫- ⎪⎝⎭6、2,17、2π8、1 9、1ln 2-10、1ln 2-11、5- 12、1x 4< 13、-14 14、36+π15、）上单调递减，在（321-16、29,23-17、)2ln 21-∞-，（ 三、计算题1、解：令231293(3)(1)0,y x x x x '=-+=--=可得驻点：121,3x x == ……2分 列表可得函数的单调递增区间为(,1)(3,)-∞+∞U ，单调递减区间为(1,3) ……5分 极大值为1|0,x y ==极小值3|4x y ==- ……7分2、解：原式 ＝1111ln ln ln 1limlim lim 1(1)ln ln 12ln 1x x x x x x x x x x x x x x x→→→----===--+-+-……6分3、解：令26242(32)(1)0,y x x x x '=+-=-+=可得驻点：1221,3x x =-= ……2分 列表可得函数的单调递增区间为2(,1)(,)3-∞-+∞U ，单调递减区间为2(1,)3- ……4分又令1220y x ''=+=得316x =-. ……5分*所以凸区间为1(,)6-∞-,凹区间为1(,)6-+∞.拐点为119(,3)627-. ……7分4、解： 11()f x x e'=- ……1分当(0,)x e ∈时,()0f x '>,所以()f x 在[0,]e 上单调增加; ……2分 又()0f e k =>,x 充分接近于0时, ()0f e <, ……3分 故()f x 在(0,)e 内有且仅有一个零点. ……4分 同理, ()f x 在(,)e +∞内也有且仅有一个零点. ……6分5、解：解23363(2)(1)0,y x x x x '=--=-+=可得驻点：121,2x x =-= ……2分 列表可得函数的单调递增区间为(,1)(2,)-∞-+∞U ，单调递减区间为(1,2)- ……5分 极大值为127|,2x y =-=极小值2|0x y == ……7分6、解： 原式＝01lim x x x e x xe x →--- ……2分＝01lim 1x x x x e xe e →-+- ……4分＝01lim 22x x x x e xe e →=+ ……6分7、解 ： 当x 单调增加时，函数()54g x x =-单调减少，所以函数()y x = ……2分在区间[1,1]-函数()y x =所以当1x =-时，函数取得最大值max 3y y ==； ……4分 所以当1x =时，函数取得最小值min 1y y ==。