2019-2020年高考数学大题综合训练11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，其前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝22，且a 4，a 7，a 12成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ，证明：T n <34.(1)解 ∵数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝22， ∴a 5＝12(a 2＋a 8)＝11.∵a 4，a 7，a 12成等比数列， ∴a 27＝a 4·a 12， 即(11＋2d )2＝(11－d )·(11＋7d )， 又d ≠0， ∴d ＝2，∴a 1＝11－4×2＝3，∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1(n ∈N *)． (2)证明 由(1)得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， ∴T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.∴T n <34.2．如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，E 为CD 的中点，PB ⊥AE .(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)若PB ＝PD ，PC 与平面ABCD 所成的角为π4，求二面角B －PD －C 的余弦值．(1)证明 由ABCD 是直角梯形，AB ＝3，BC ＝2AD ＝2，可得DC ＝2，BD ＝2， 从而△BCD 是等边三角形， ∠BCD ＝π3，BD 平分∠ADC ，∵E 为CD 的中点，DE ＝AD ＝1， ∴BD ⊥AE .又∵PB ⊥AE ，PB ∩BD ＝B ， 又PB ，BD ⊂平面PBD ， ∴AE ⊥平面PBD . ∵AE ⊂平面ABCD ， ∴平面PBD ⊥平面ABCD .(2)解 方法一 作PO ⊥BD 于点O ，连接OC ，∵平面PBD ⊥平面ABCD ， 平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ， PO ⊂平面PBD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO ＝π4，又∵PB ＝PD ，∴O 为BD 的中点，OC ⊥BD ，OP ＝OC ＝3，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)， PC →＝(0，3，－3)，PD →＝(－1,0，－3)． 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，得⎩⎨⎧3y －3z ＝0，－x －3z ＝0，令z ＝1，则x ＝－3，y ＝1，得n ＝(－3，1,1)． 又平面PBD 的一个法向量为m ＝(0,1,0)， 设二面角B －PD －C 的平面角为θ，则|cos θ|＝|n ·m ||n ||m |＝15×1＝55， 由图可知θ为锐角，∴所求二面角B－PD－C的余弦值是55.方法二作PO⊥BD于点O，连接OC，∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO⊂平面PBD，∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝π4，又∵PB＝PD，∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝3，作OH⊥PD于点H，连接CH，则PD⊥平面CHO，又HC⊂平面CHO，则PD⊥HC，则∠CHO为所求二面角B－PD－C的平面角．由OP＝3，得OH＝32，∴CH＝152，∴cos∠CHO＝OHCH＝32152＝55.3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地，为了确定进货数量，该超市记录了A水果最近50天的日需求量(单位：千克)，整理得下表：以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．(1)若该超市一天购进A水果150千克，记超市当天A水果获得的利润为X(单位：元)，求X 的分布列及期望；(2)若该超市计划一天购进A水果150千克或160千克，请以当天A水果获得的利润的期望值为决策依据，在150千克与160千克之中任选其一，应选哪一个？若受市场影响，剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？解(1)若A水果日需求量为140千克，则X＝140×(15－10)－(150－140)×(10－8)＝680(元)，且P(X＝680)＝550＝0.1.若A水果日需求量不小于150千克，则X＝150×(15－10)＝750(元)，且P(X＝750)＝1－0.1＝0.9.故X的分布列为E(X)＝680×0.1＋750×0.9＝743. (2)设该超市一天购进A水果160千克，当天的利润为Y(单位：元)，则Y的可能取值为140×5－20×2,150×5－10×2,160×5，即660,730,800，则Y的分布列为Y 660730800P 0.10.20.7E(Y)＝660×0.1＋730×0.2＋800×0.7＝772.因为772>743，所以该超市应购进160千克A水果．若剩余的水果以7元/千克的价格退回水果基地，同理可得X，Y的分布列分别为X 670750P 0.10.9Y 640720800P 0.10.20.7 因为670×0.1＋750×0.9<640所以该超市还是应购进160千克A水果．4.如图，在平面直角坐标系中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点⎝⎛⎭⎫52，32，离心率为255.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点K (2,0)作一直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作直线l ：x ＝a 2c 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，54a 2＋34b2＝1，c a ＝255⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，c ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝52，AB 1与A 1B 的交点是⎝⎛⎭⎫94，0.②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 2＋5y 2＝5， 得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2，A 1⎝⎛⎭⎫52，y 1，B 1⎝⎛⎭⎫52，y 2， 所以lAB 1：y ＝y 2－y 152－x 1⎝⎛⎭⎫x －52＋y 2， lA 1B ：y ＝y 2－y 1x 2－52⎝⎛⎭⎫x －52＋y 1，联立解得x ＝x 1x 2－254x 1＋x 2－5＝20k 2－51＋5k 2－25420k 21＋5k 2－5＝－45(1＋k 2)－20(1＋k 2)＝94， 代入上式可得y ＝k (x 2－x 1)－10＋4x 1＋y 2＝－9k (x 1＋x 2)＋4kx 1x 2＋20k4x 1－10＝－9k ·20k 21＋5k 2＋4k ·20k 2－51＋5k 2＋20k4x 1－10＝0.综上，直线AB 1与A 1B 过定点⎝⎛⎭⎫94，0. 5．设函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)(a ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，试比较12ln(tan θ)与tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的大小，并说明理由． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －(x －1)， f ′(x )＝ln x ＋1x，设g (x )＝ln x ＋1x (x >0)，则g ′(x )＝x －1x 2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， g (x )min ＝g (1)＝1>0，∴f ′(x )>0.故f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增， 无单调递减区间．(2)f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ＝g (x )＋1－a ，由(1)可知g (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 则g (x )≥g (1)＝1，即f ′(x )在区间[1，＋∞)上单调递增，且f ′(1)＝2－a ， ①当a ≤2时，f ′(x )≥0， f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )≥f (1)＝0满足条件；②当a >2时，设h (x )＝ln x ＋1x ＋1－a (x ≥1)，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≥0(x ≥1)，∴h (x )在区间[1，＋∞)上单调递增， 且h (1)＝2－a <0，h (e a )＝1＋e －a >0， ∴∃x 0∈[1，e a ]，使得h (x 0)＝0，∴当x ∈[1，x 0)时，h (x )<0，f (x )单调递减， 即当x ∈[1，x 0)时，f (x )≤f (1)＝0，不满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]． (3)由(2)可知，取a ＝2，当x >1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －2(x －1)>0， 即12ln x >x －1x ＋1， 当0<x <1时，1x >1，∴12ln 1x >1x －11x＋1⇔ln x 2<x －1x ＋1，又∵tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－1tan θ＋1， ∴当0<θ<π4时，0<tan θ<1，12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时，tan θ＝1，12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当π4<θ<π2时，tan θ>1， 12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 综上，当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，12ln(tan θ)<tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ＝π4时，12ln(tan θ)＝tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，12ln(tan θ)>tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 6．已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t2(t 为参数，t ∈R )．由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)把⎩⎨⎧ x ＝1＋32t ，y ＝2＋t 2代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，⎝⎛⎭⎫1＋32t －12＋⎝⎛⎭⎫2＋t 2－12＝2， 整理得t 2＋t －1＝0，Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1，∴|MP |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝12.7．(2018·宿州模拟)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3.(1)求不等式f (x )≥3x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ，即x 2－4x ＋3≥0，解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ，此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}．(2)f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立， 即⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪x 2≥|a |， 当且仅当x ＝0时，等号成立，∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．我有一个好朋友，她的名字叫琳琳，她来自中国，她10岁，她是我的同班同学，她喜欢体育。