一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填 在题中横线上)1．复数i1＋2i(i 是虚数单位)的实部是________．解析：因为i 1＋2i ＝i(1－2i)5＝25＋i 5，所以复数i 1＋2i (i 是虚数单位)的实部是25.答案：252．执行如图所示的程序框图，若p ＝4，则输出的s ＝________.解析：由程序框图知s ＝12＋14＋18＋116＝1516.答案：15163．观察下表的第一列，填空：答案：(b1bn)n24．复数z ＝(1＋i)21－i对应的点在第________象限．解析：z ＝(1＋i)21－i ＝2i1－i ＝－1＋i ，其对应的点的坐标为(－1,1)，所以点在第二象限． 答案：二5．设0＜θ＜π2，已知a1＝2cosθ，an ＋1＝2＋an (n∈N＋)，猜想an ＝________.解析：因为0＜θ＜π2，所以a2＝2＋2cosθ＝2cos θ2，a3＝2＋2cos θ2＝2cos θ4，a4＝2＋2cos θ4＝2cos θ8，于是猜想an ＝2cos θ2n －1(n∈N＋)．答案：2cos θ2n －16．根据下面一组等式： S1=1, S2=2+3=5, S3=4+5+6=15, S4=7+8+9+10=34, S5=11+12+13+14+15=65, S6=16+17+18+19+20+21=111. 可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n －1＝________.解析：从已知数表得S1＝1，S1＋S3＝16＝24，S1＋S3＋S5＝81＝34，从而猜想S1＋S3＋…＋S2n －1＝n4. 答案：n47．复数53＋4i的共轭复数是________．解析：因为53＋4i ＝5(3－4i)(3＋4i)(3－4i)＝3－4i 5，所以其共轭复数为35＋ 45i.答案：35＋45i8．已知x ，y∈R，i 为虚数单位，且(x －2)i ＋y ＝1＋i ，则(21＋i )x ＋y 的值为________． 答案：－49．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设aij(i ，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 列的数，如a42＝8.若aij ＝2009，则i 与j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107. 答案：10710．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na －b)＋c 对一切n∈N ＋都成立，那么a ，b ，c 的值分别为________．解析：∵已知等式对一切n∈N＋成立，∴当n ＝1,2,3时也成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b)＋c ，1＋2×3＝32(2a －b)＋c ，1＋2×3＋3×32＝33(3a －b)＋c.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝12，b ＝14，c ＝14.答案：12 14 1411．某电信公司推出一种手机月费方案为：若全月的通讯时间不超过150分钟，则收固定的月费60元；若全月的通讯时间超过150分钟，则除固定的月费之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费．下面是计算手机月费的算法的流程图，其中处理框中应填上的条件是________．解析：若全月的通讯时间超过150分钟，则在固定的月费60元之外，对超过150分钟的部分按每分钟0.30元收费，则在T>150时，月费为Y ＝60＋0.30(T －150)．结合算法流程图，可知处理框中应填Y←60＋0.30(T －150)． 答案：Y←60＋0.30(T －150)12．两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin(α＋2π3)＋sin(α＋4π3)＝0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为________． 解析：类比推理可知，四等分单位圆时，α与α＋π的终边互为反向延长线，α＋π2与α＋3π2的终边互为反向延长线，如图．答案：sinα＋sin(α＋π2)＋sin(α＋π)＋sin(α＋3π2)＝013．有一算法流程图如图，则该算法解决的是________．答案：输出不大于660能被10整除的所有正整数14．(2010年皖南八校模拟)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：因为k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k(k ＋1)]，所以得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]．各式相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4…＋n(n ＋2)”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为________．解析：∵k(k＋2)＝16[k(k ＋2)(k ＋4)－(k －2)k(k ＋2)]，∴1×3＋2×4＋3×5＋4×6＋5×7＋6×8＋…＋n(n ＋2)＝16[1×3×5－(－1)×1×3＋2×4×6－0×2×4＋3×5×7－1×3×5＋4×6×8－2×4×6＋5×7×9－3×5×7＋6×8×10－4×6×8＋…＋n(n ＋2)(n ＋4)－(n －2)n(n ＋2)]＝16[－(－1)×1×3－0×2×4＋(n －1)(n ＋1)(n ＋3)＋n(n ＋2)(n ＋4)]＝16(2n3＋9n2＋7n)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．答案：16n(n ＋1)(2n ＋7)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y)i (2x ＋ay)－(4x －y ＋b)i ＝9－8i有实数解，求a ，b 的值．解：⎩⎨⎧(2x －1)＋i ＝y －(3－y)，(2x ＋ay)－(4x －y ＋b)i ＝9－8i由第一个等式得⎩⎨⎧2x －1＝y1＝－(3－y)，解得⎩⎨⎧x ＝52y ＝4.将上述结果代入第二个等式中得5＋4a －(10－4＋b)i ＝9－8i.由两复数相等得⎩⎨⎧5＋4a ＝910－4＋b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝2.16．(本小题满分14分)假设a ，b ，c ，d∈R 且ad －bc ＝1. 求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab ＋cd≠1. 证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab ＋cd ＝1. ∵ad－bc ＝1，∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab ＋cd ＝ad －bc. ∴a2＋b2＋c2＋d2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0.∴2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0. ∴(a＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋d)2＋(a －d)2＝0. ∴a＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0. ∴a＝b ＝c ＝d ＝0，∴ad－bc ＝0，这与ad －bc ＝1矛盾， 从而假设不成立，原命题成立， 即a2＋b2＋c2＋d2＋ab ＋cd≠1成立．17．(本小题满分14分)某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”，然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现；第三步，按照亲子活动方案进行活动；第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时家长填写反馈卡，最后启导员填写服务跟踪表．你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？ 解：活动流程图如图所示． 儿童与家长如约来到“儿童之家” ↓ ↓接待儿童做 接待家长交流 活动前准备 儿童本周表现 ↓ ↓按亲子活动方案活动 ↓ ↓ 启导员填写亲子 家长填写亲子 活动总结记录 活动反馈卡 ↓ ↓启导员填写服务跟踪表18．(本小题满分16分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围． 解：设z ＝x ＋yi(x ，y∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z2－i ＝x ＋yi 2－i ＝(x ＋yi)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15(2x －y)＋15(x ＋2y)i ，因为z ＋2i ，z2－i 均为实数，所以⎩⎨⎧ y ＋2＝0x ＋2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝4y ＝－2，所以z ＝4－2i ，所以(z ＋ai)2＝(4－2i ＋ai)2＝(12＋4a －a2)＋8(a －2)i ， 又复数(z ＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限内，所以⎩⎨⎧ 12＋4a －a2＞08(a －2)＞0，解得2＜a ＜6，所以实数a 的取值范围是(2,6)．19．(本小题满分16分)已知：a>0，b>0，a ＋b ＝1.求证： a ＋12＋b ＋12≤2. 证明：要证 a ＋12＋ b ＋12≤2，只要证：a ＋12＋b ＋12＋2 (a ＋12)(b ＋12)≤4，∵由a ＋b ＝1，故只要证： (a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：(a ＋12)(b ＋12)≤1，只要证：ab≤14， ∵a>0，b>0,1＝a ＋b≥2ab ，∴ab≤14，故原不等式成立． 20．(本小题满分16分)(1)已知x ，y∈R，求证：不等式： ①12x2＋12y2≥(12x ＋12y)2； ②13x2＋23y2≥(13x ＋23y)2； ③14x2＋34y2≥(14x ＋34y)2； (2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论．解：(1)证明：①∵12x2＋12y2－(12x ＋12y)2 ＝12x2＋12y2－14x2－12xy －14y2 ＝14x2－12xy ＋14y2 ＝14(x －y)2≥0，∴12x2＋12y2≥(12x＋12y)2.②∵13x2＋23y2－(13x＋23y)2＝29x2＋29y2－49xy＝29(x2＋y2－2xy)＝29(x－y)2≥0，∴13x2＋23y2≥(13x＋23y)2.③∵14x2＋34y2－(14x＋34y)2＝14x2＋34y2－(116x2＋38xy＋916y2)＝316x2＋316y2－38xy＝316(x2＋y2－2xy)＝316(x－y)2≥0，∴14x2＋34y2≥(14x＋34y)2.(2)一般的结论是：已知x，y∈R，a，b都是正数，且a＋b＝1，则ax2＋by2≥(ax＋by)2.证明如下：∵a＋b＝1，∴a＝1－b＞0，b＝1－a＞0.∵(ax2＋by2)－(ax＋by)2＝(a－a2)x2－2abxy＋(b－b2)y2＝a(1－a)x2－2a(1－a)xy＋a(1－a)y2＝a(1－a)(x2－2xy＋y2)＝a(1－a)(x－y)2，又∵a＞0,1－a＞0，(x－y)2≥0，∴(ax2＋by2)－(ax＋by)2≥0，即ax2＋by2≥(ax＋by)2(其中a＋b＝1且a＞0，b＞0)成立.。