1k [a1v1
a2
(
2 1
)k
v2
(
n 1
)k
vn
]
因为
i 1(i 2,3,, n) 1
故当k→∞时， xk→λ1ka1v1.
因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量
有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）
17
算法: 乘幂法
min R( x) x0
min( Ax,
x 2 1
x)
n
max x0
R( x)
max ( Ax, , x 2 1
x)
由于R(x) R( x) ，对于任意 x ，可以取 ，使
得：||x ||2 1 .
证明: 假设 u1, u2 ,, un 为 A 的规范正交特征向量
组，则对任何向量 x Rn ，有 n x iui i 1
||
Ak z0 Ak z0 ||
14
zk
1k | 1k
|
b1v1 || b1v1
b2
(
2 1
)
k
v2
b2
(
2 1
)
k
v2
bn
(
n 1
)k
vn
bn
( n 1
)k
vn
||
当1>0时
|
1k 1k
|
1
zk
b1v1 || b1v1 ||
当1<0时 1k 1 | 1k |
zk
b1v1 || b1v1 ||
8
于是
n
n
R(x)
( Ax, x) (x, x)
( ii ui , i ui )
i 1
i 1
n
n
( i ui , i ui )
i 1
i 1
n
n
i
2 i
/
2 i
,
i 1
i 1
因而
1
( Ax, x) (x, x)
n
,特别地，若取
x
u1
，这时
从而
( Au1 , u1 ) (u1 , u1 )
(1u1 , u1 )
12
在实际计算时，须按规范法计算，每步先 对向量xk进行“规范化”。迭代格式改 为
zk
xk xk
xk 1 Azk , k 0,1,
13
对任意给定的初始向量x0
z0
x0 x0
b1v1 b2v2
bnvn
x1
Az0 , z1
x1 || x1 ||
||
Az0 Az0 ||
类似地
zk
4
第二圆盘定理
设 A 为n 阶实方阵，如果 A 的 k 个Gerschgorin
圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有 A的 k 个特征 值落在该 k 个圆盘的并集之中，即：
k
n
S
j 1
Di
j
,
T
D jk 1 i j
{i1,, ik , ik1,, in }为{1,2,, n}的一个重新排
列, S T , 则 S 中含有 A 的 k 个特征值.
1
1
min x0
R(
x).同理可证
n
max R( x) X 0
9
按模最大特征值和特征向量的乘幂法
• 设A是n阶矩阵，其n个特征值按模从大到小 排序为
1 2 3 n
又假设关于λ1，λ2，…，λn的特征向量 v1，v2，…，vn线性无关.
10
任意取定初始向量x0
x0 a1v1 a2v2 anvn (a1 0)
3
特征值的估计与扰动问题
特征值的估计
Di ( A) {z c :| z aii | | aij | i }, i 1,2,, n ji
称之为Gerschgorin圆盘（盖尔圆）. Gerschgorin 圆盘定理
设A (aij )nn为n阶实方阵,则 A 的任一特征值必落 在的某个Gerschgorin圆盘之中.
建立迭代公式 ： xk Axk1
x1 Ax0 a1Av1 a2 Av2 an Avn
a11v1 a22v2 annvn
x2 Ax1 A2 x0 a112v1 a222v2 ann2vn
…………..
11
xk Axk1 Ak x0 a11k v1 a22k v2 annkvn
Numerical eigenvalue of matrix 矩阵特征值问题的解法
1
给出 A (aij )nn .若有 使得： Ax x, x 0
则称 为矩阵 A 的特征值, x 为相应的特征向量。 特征值 为特征方程的根。
det(A I ) 0
2
与矩阵想干的一些重要结果: eigenvalueofmarix.doc
15
按模最大特征值λ1及其相应的特征向量v1 的乘幂法的计算公式：
zk
xk xk
xk 1 Azk
k 1 1
zkT xk 1 zkT zk
z
T k
Azk
zkT zk
,
k 0,1,
16
定理
且|1| 出发,
>迭|设代2| A…(kR) |nAnnk|为。(0) 非则收亏从敛损任到矩意主阵非特，零征其向向主量量特x(01征) ，(满根(足(k1)1)1为i /((实v((k0)根)),ix收1，)
关于实对称矩阵的极大—极小定理
定义 设 A 为 n 阶实矩阵，x ( x1 ,, xn )T 0, x Rn .
我们称
R(x)
( Ax, x) (x, x)
xT Ax xT x
n i 1
n
aij xi x j
j 1
/
n i 1
xi2
为矩阵 A 关于向量 x 的Rayleigh（雷利）商.
特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值.
5
例 1 设矩阵
4 1 0 A 1 0 1
1 1 4
试讨论A的特征值的分布.
解 由A确定的3个圆盘分别为
R1=-41, R2=2, R3=+42
所以
y
315 -2<22 -63<-2
-6 -4 -2 0 2 3 4 5 x
实际上， 1=4.20308 , 2=-0.442931 , 3=-3.76010 6
A 为 n 阶实对称矩阵，则其特征值皆为实数， 记做： 1 2 n 并且存在规范正交特征向量系，满足：
Aui iui , i 1,2,, n , (ui , u j ) ij , i, j 1,2,, n
7
定理 设 A 为 n 阶实对称矩阵，其特征值
为 1 2 n ，则
1
0
)
敛到1。
每个不同的特征根
注： 结论对重根 1 = 2 = … = r 成立。源自只对应一个Jordan 块
(k)
1k
r
i xi
i1
n i
i r 1
i 1
k
xi
1k
r
i xi
i 1
若有 1 = 2 ，则此法不收敛。
(
(
0
)
,
xm
)
任0取的1初第始一0，向个故量x所m时，求，同得因时之为得不(到k )知不的道一特定x征1 ，是根所是x1以，m不而。能是保使证得