H
x x xCni1且x0
H
由定理9.2.3，xCmnia1且xx0
xH Ax xH x
i
又由定理9.2.2，对任意x≠0，有
1
max
xCni1且x 0
xH Ex xH x
n
从而有 i i 1
另一方面, A=(A+E)-E. 记 1 2 E的特征值，那么， i ni1
为n 矩阵-
重复上面的过程,可得 i i 1
第9章 矩阵特征值问题的数值 方法
9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量
设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有
数λ存在，满足
， (1)
那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量.
f () 0的根. 反之，如果λ是
的根，
f () 0
那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式
成立. 从而，λ是A的一个特征值.
A的特征值也称为A的特征根.
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质：
定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值.
定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值.
从而有 i i n
定理9.2.5通常又称为Hermite矩阵特征值 的扰动定理
பைடு நூலகம்
定理9.2.6 设矩阵A和A′=A+E都是n阶Hermite矩
阵，其特征值分别为 1 2 n 和1 2 ，n 那么 i E 2 2 i E 2
这个定理表明，扰动矩阵E使A的特征值的变化
不会超过 ‖E‖2. 一般‖E‖2 矩阵特征值是良态的.
定理9.1.3 n阶矩阵A与AT有相同的特征值.
定理9.1.4 设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，xTy=0 .
9.2 Hermite矩阵特征值问题
• 设A为n阶矩阵，其共轭转置矩阵记为AH. 如 果A=AH，那么，A称为Hermite矩阵.
个特征值，那么
A
2
max
1in
i
n
A F
i2
i 1
证:
由 A 2 ( AH A) ( A2 ) (( A))2 2
因此
A
2
max
1in
i n
又由 A 2 tr( AH A) tr( A2 ) F
i2
n
i 1
得 A F
i2
i 1
设x是一个非零向量，A是Hermite矩阵，
称 xH Ax 为矩阵A关于向量x的Rayleigh商， 记为xRH(xx).
矩阵特征值问题的性态是很复杂的，通常 分别就单个特征值或整体特征值给出状态数进 行分 析. 对于Hermite矩阵，由于其特征值问题 的特殊性质，其特征值都是良态的.下面先证明 Hermite矩阵特征值的扰动定理.
定理9.2.5 设矩阵A，E，A+E都是n阶Hermite 矩阵，其特征值分别为1 2 n 1 2 n 1 2 n 那么, i n i i 1
9.2.1 Hermite矩阵的有关性质
设 1, 2 ,..., n 是Hermite矩阵A的n个特征
值. 有以下性质:
• 1, 2 ,..., n全是实数.
• 1, 2 ,..., n有相应的n个线性无关的特征
向量，它们可以化为一组标准酉交的特征
向量组 u1,u2 ,..., un,即 uiHu j ij
特征向量为u1, u2 ,..., un. 用Ck表示酉空间
Cn中任意的k维子空间，那么
k
max min R(x) Ck xCk且x0
或
k
max min R(x) Cnk1 xCnk1且x0
9.2.3 Hermite矩阵特征值问题的性态
矩阵特征值问题与求解线性方程组问题一 样，都存在当矩阵A的原始 数据有小变化(小扰 动)时，引起特征值问题的变化有大有小的问题， 如果引起的变化小，称 该特征值问题是良态的. 反之，称为病态的.
如果把(1)式右端写为 x，那么(1)式又可写
为:
(I A)x 0 (2)
记
即| I A | 0
f () | I A | n an1n1 ... a1 a0
它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特 征多项式， 其中a0=(-1)n｜A｜.
显然，当λ是A的一个特征值时，它必然
是
• u1, u2 ,..., un是酉空间中的一组标准酉交基.
• 记U=(u1, u2 ,..., un ),它是一个酉阵，即
UHU=UUH=I，那么
1
UH
AU
D
n
即A与以1, 2 ,..., n为对角元的对角阵相似.
• A为正定矩阵的充分必要条件是1, 2 ,..., n
全为正数.
定理9.2.1 设 1, 2 ,..., 是nHermite矩阵A的n
定理9.2.2 如果A的n个特征值为1 2 ... n
其相应的标准酉交的特征向量为 u1,u2 ,..., un
那么有 1 R(x) n
定理9.2.3 设A是Hermite矩阵 ，那么
k
min
xCk且x0
R(
x)或k
min R(x)
xCnk1且x0
9.2.2 极值定理
定理9.2.4(极值定理) 设Hermite矩阵的n个特 征值为 1 2 ... n，其相应的标准酉交
设A
a11 a21
a12 a22
是二阶实对称矩阵，即a21=a12，
其特征值为λ1，λ2. 令
使得
RT
AR
1
1
记
cos sin
R
sin
cos
B
RT
AR
b11 b21
证 设矩阵A关于特征值λ1，λ2，…，λn 的标准
酉交特征向量为u1，u2，…，un，
Cni1
是由ui，ui+1，…，un生成的n-i+1维子空间.
对 Cni1中任意非零向量x,由极值定理,有
i
max
xCni 1且x 0
xH (A E)x xH x
xH Ax
xH Ex
max
max
x x xCni1且x0
Hermite
9.3 Jacobi方法
理论上，实对称矩阵A正交相似于以A的特征 值为对角元 的 对角阵. 问题是如何构造这 样的正交矩阵呢? Jacobi方法就是通过构造 特殊的正交矩阵 序列，通过相似变换使A 的非对角线元素逐次零化来实现对角化的.
9.3.1 平面旋转矩阵与相似约化
先看一个简单的例子.