可能有若干个收敛于不同向量的子序列；
❖幂法的收敛速度取决于 2 :的大1 小；
Ak u0
1k
X1 y1
X
2
(
J2
1
)k
y2
X
p(
Jp
1
)k
yp
加速方法：适当选取 ，对 A 应用I 幂法
称之为原点平移法
Ax 1x Ax x 1x x 原点平移法不改变
(A I )x (1 )x
矩阵 A的特征向量
,
y
T p
)T
n1 n2
np
X (X1, X2, X p )
n1 n2
np
Aku0 Xdiag(J1k ,
,
J
k p
)
X
1u0
X1J1k y1 X2J2k y2
XP
J
k p
yp
Aku0 X1J1k y1 X2J2k y2
XP
J
k p
yp
1k X1 y1 X2J2k y2
X
pJ
23 25
1)T
Step3
y3 Au2 (1.8 4.2 4.92)T
3 4.92 u3 y3 3 (0.3659 0.8537 1)T
Step4 y4 Au3 (1.5854 3.9268 4.8537)T
4 4.8537 u4 y4 4 (0.3266 0.8090 1)T
先来研究一下矩阵 GT ( p, q, )AG( p, q, )
的元素和矩阵 A 的元素之间的关系。
例如取 n 4; p 2,q 4 记 c cos; s sin
次序外，J 是唯一的。
1
i
J称作 A 的Jordan标准型
Th8.1.2（Schur分解） 设 A C，n则n存在酉矩阵
U C，nn使得：
U H AU T
其中T是上三角矩阵，且适当选择 U，可使 T的元素
按任意指定的顺序排列。
Th8.1.3（圆盘定理）/*Disc Theorem*/ 设 A (aij )，C令nn
则称 A 和 B 是相似的。
相似矩阵有相同的特征值
设 Ax x Ax x PAP1Px Px
BPx Px
本章QR算法的基本思想：
寻求已知矩阵A的相似矩阵 B ，要求： 矩阵B 的特征值和特征向量容易计算
Th8.1.1（Jordan分解） 设 A C，n有n r个互不相同的特征值 i (i 1, ,，r)
相应的特征向量。
det( I A) 0
特征多项式 pA( ) det( I A) 的根的集合：谱集
det( I A) ( 1)n1 ( 2 )n2 ( p )np
其中 n1 n2 np n;i j (i j)
称 ni 为i 的代数重数（简称重数）； mi n rank(i I A) 为i 的几何重数。
mi
ni
Def 2设 A C，nn 对于矩阵 A 的特征值 i ，如果
mi ni ，则称该特征值 i为 A 的一个半单特征值。
若A的所有特征值都是半单的，则称 A是非亏损的。
A是非亏损的等价条件是 A有n个线性无关的特征向量
Def 3设 A, B ，C nn 若存在矩阵P ，使得 B P1AP
特征值及相应的特征向量精确值为:
4.7321 u (0.2679 0.7320 1)T
➢幂法的收敛性：
Th8.2.1设 A C有npn个互不相同的特征值满足： 1 2 p
且模最大特征值 1是半单的，如果初始向量 u0在 1
的特征子空间上的投影不为零，则由幂法算法产生的
向量序列 uk 收敛到 1的一个特征向量 x1，且数值 序列 k 收敛到 1 。
幂法是计算一个矩阵的模最大的特征值和对应的特征 向量的一种迭代方法（又称为乘幂法）。
一、幂法的基本思想与算法
假设 A C是n可n 对角化的，即 存在A如下分解：
A X X 1
其中 diag(1, , n ) ; X [ x1, , xn ] C nn
不妨假设 1 2 n 对于 u0 C n
例1：利用幂法求下列矩阵A 的模 2 1 0
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 u0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step1 y1 Au0 (3 5 5)T
1 5
u1
y1
1
(
3 5
1
1)T
Step2
y2 Au1 (115
23 5
5)T
2 5
u2 y2 2 (1125
是固定的，通常采用(选主元)
Doolittle分解化为两个三角方 程组求解，从而减少工作量。
设矩阵A 存I在Doolittle分解：
求解方程组 ( A I )v化k 为：zk1
带位移的反幂法迭代格式：
A I LU
ULvykk
zk 1 yk
For k=1,2,3,…
Lyk zk1
Uvk yk
u0 1x1 2 x2 n xn;i C
n
n
Aku0
j Ak x j
j
k j
x
j
j 1
j 1
1k (1x1
j
n 2
j
(
j 1
)k )x j )
Ak u0
1k
(1x1
n j2
j
(
j 1
)k
)
x
j
)
1x1(k
)
说明：当k充分大时, 1 的一个近似特征向量为
uk
Ak u0
Gi ( A) {z C : z aii aij };i 1, , n ji
则( A) G1( A) G2( A) Gn( A)
Th8.1.4（谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ 设 A R为n对n 称矩阵，则存在正交矩阵 Q Rnn
使得 QT AQ diag(1, , n )
AX XJ AX1 X1J1 1X1
AX1 y1 1X1 y1 Ax1 1x1
uk
Auk1
k
Ak u0
k k1
1
Ak u0
1k
1k
Ak u0
uk
X1 y1 (k ) X1 y1
lim
k
uk
x1
Auk1 k uk k 1(k )
几点说明：
定理8.2.1条件不满足时，幂法产生的向量序列 uk
zk
vk vk
收敛速度取决于
1
的大小
2
当 时，1 收敛速度会非常快
例2：用带位移的反幂法求矩阵 A
2 1 0
对应特征值 1.2679（精确值为 A 1 3 1
3 3）的近似特征向量。
0 1 4
解： 1.2679 A I LU
1
其中L 1.3659 1
0 2.7310 1
其中1, , n 是 A 的n个特征值。
Th8.1.5（极大极小定理） 设 A R为n对n 称矩阵，且 的特A征值为
1 2 n
则有i
max min
in 0u
uT Au uT u
uT Au
min max
nni1 0u
uT u
其中
n k
表示
R
n中所有k维子空间的全体。
Th8.1.6（Weyl定理） 设 A, B 为R对n称n 矩阵，其特征值分别为
➢带位移的反幂法：
实际应用中，反幂法主要用于求特征向量。
假设A的特征值满足 0 1 2 n 且用某种方法已经得到 A的特征值 的1近似值 1 记 1 对矩阵 A 采 I用反幂法迭代格式为：
For k=1,2,3,…
( A I )vk zk1
zk
vk vk
因为方程组的系数矩阵 A I
)k
)
x
j
)
x1
➢幂法迭代算法：
u0 , u0 1
For k=1,2,3,…
yk Auk1
k yk
uk
yk
k
if
uk uk1
输出 uk和 k
设 u和k 均k收敛，由算法知 Auk1 k uk
lim
k
Auk 1
lim
k
k
lim
k
uk
Ax 1x k 1
uk 1
幂法可以计算矩阵的模最大 的特征值和对应的特征向量
0.7321 1
0
U
0
0.3662
1
0
0 0.0011
z0 (1 1 1)T
Step1 Ly1 z0
1.0000 y1 0.6366
1.9999
Uv1 y1
6776.3938 v1 4960.000
1815.8199
Step2
Ly2 v1
1.0000
y2
对A Rnn , AT A 存在正交矩阵Q，满足
QT AQ diag(1, 2 , , n ) 记 Q (q1, q2 , , qn ) 则 Aqi iqi ;i 1, 2, , n
寻找正交相似变换 Q，将矩阵 约A 化为对角阵即可
正交相似变换求法：通过Givens变换来实现
➢经典Jacobi方法
1 2 n; 1 2 n
则有 i i
A B ;i 1, 2, 2
,n
注意：实际问题中矩阵一般都是由计算或实验得到，
本身必然存在误差，不妨假设 B A A
i i
A ;i 1, 2, 2
,n
说明：对称矩阵的特征值总是良态的。
§2 幂法与反幂法/*Power Method and Reversed Power Method*/