减少解几试题计算量的十种方法—高考对策之一在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是：（1）设而不求.【题1】（湖北黄冈，元月考，10题） 已知直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 ( )A.6x －5y －28=0B.6x +5y －28=0C.5x +6y －28=0D.5x －6y －28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点 坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率.若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：【解析】由2222458012016x y x y +=⇒+=.∴椭圆上顶点 B （0，4）,右焦点F （2,0）.为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）.设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，∴2211222245804580x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩ ()()()()121212121212121244664505545y y x x x x x x y y y y k x x y y -+-++-+=⇒==-⋅=-⋅=-+-所求直线方程为()623652805y x x y +=-⇒--=，选A. 【评注】我们用参数设置了M,N 两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求.（2）使用特值【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为65的双曲线()222210x y a b a b-=>>中，F 为右焦点，过F 点倾斜角为60゜的直线与双曲线右支相交于A,B 两点，且点A 在第一象限，若,AF mFB =则m =（ ）xy O B 04(,)MNF 20(,)C 32(,-)图1A.2B.3C.4D.5【分析】按常规求m 值，必先求向量AF FB与之长.由于双曲线的方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的.注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果.所以我们可以通过取特值，让方程具体化.【解析】65c e a ==.不妨设2225,6,,11a c c a b ==∴= =+b ，双曲线 方程为：2212511x y -=,其右焦点()6,0F，设()6A t +，代入双曲线方程： ()221162532511t t +-⋅=⨯2641321210t t ⇒--=()()16114110.t t ⇒+-=于是11221111,,4416t t t m t ==-==，故选C. （3）平几给力【题3】（2011.武汉四月调考.15题）过圆C ：22200(,)x y R M x y +=内一定点作一动直线交圆C 于两点P 、R ，过坐标原点O 作直线ON ⊥PM 于点N ，过点P 的切线交直线ON 于点Q ，则O M O Q ⋅= 。

【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段.【解析】如图4,连OP,则OP ⊥PQ.但是OQ ⊥PR 于N,根据直角三角形的射影性质有：22OQ ON OP R ⋅==∴2cos OM OQ OQ OM OQ ON R α⋅=⋅⋅=⋅=即2OM OQ R ⋅=.（4）减少参数【题4】（北京西城元月考.13题）双曲线22:1C x y -=的渐近线方程为若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于,P Q 两点，且2PA AQ =，则直线l 的斜率为【分析】第一空，简单；难点是第二问.yABF OA 1B 1x图3xyOPRQN α图2xyOA 10(,)PQ按常规，为求直线l 的斜率，必先确定P 或Q 的坐标.但由现有 条件却确定不了，因此退而求P,Q 两坐标之间的关系.但是两点的坐标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y .当2PA AQ =时， 1220y y +=.设直线():1PQ y k x =-.令x=y,得()11,1k y k y y k =-∴=-令x=-y,得()21,1ky k y y k -=--∴=+于是：21200,01111k k k k k k k -=≠∴-=-+-+ ()1210k k ⇒+--=【别解】（巧用中点公式）如图设P （a,a ）,则P 关于A （1,0）的对称点为R （2-a,-a ）, AR 的中点3,22a a Q -⎛⎫- ⎪⎝⎭符合所设条件且在直线y=-x 上，303332,,,33222212PQa a P k --⎛⎫∴=∴== ⎪⎝⎭-得 （5）回归定义【题5】（山西师大附中，元月考，8题）设12F F ，是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220.OP OF F P +⋅= （O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率是（ ）21A C D【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OP OF OQ +2OQ F P ∴⊥ 2OQ F P且必过的中点.可知12PF F ∆为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条件.【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令)21=,,21PF r PF a r =∴=则，1290,F PF ∠=︒但是)222221212,4 1.PF PF F F r r ∴+=+== 即，得于是1c a e a ====，选D 得k=3.图4图5x yP OF 1F 2QM（6）正难则反【题6】（北京海淀，5月考，7题）若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论：①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④ 1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．②③④ B. ①③④ C ．①②④ D. ①②③【分析】各选项都需鉴别3个命题，太繁了. 此外，正面论证哪3个命题正确，太费事了.于是将原命题转换为：…其中不正确结论的序号是：A. ①B. ②C.③D.④ 此外，4个选项中，最容易用特值否定的是②，故有【解析】构造椭圆22221212:1: 1..251610x y x C C y C C +=+=及显然与焦点相同111122222, 4.2a b a b a b a b ==<=<但是这里，故结论②不成立，选B. 【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理.首先，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论②在特殊情况下是不正确的，那么在一般情况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的.以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他3个结论的正确性.既是两椭圆焦点相同，那么22222222221211221212c c a b a b a a b b =⇒-=-⇒-=-.∴结论③正确； 结论①：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解.222222221122222121222222222212121212222211111001x y a b a a b b x y x y a a b b a a b b x y a b ⎧+=⎪⎛⎫⎛⎫--⎪⇒-+-=⇒⋅+⋅=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩ 既然结论③正确，且已知12a a >，2222222121222212120,=0.x y a a b b a a b b ∴-=-≠+故必最后的方程无解，，这就证明了结论①是正确的.要考察结论④是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法.yB 1B 2图8-1既然结论①正确，即两椭圆没有公共点.已知12a a >，所以椭圆1在 椭圆2的外面. 如图6，设两椭圆公共右焦点为F ，上顶点分别为12121212,-,B B FB B FB FB B B ∆ ，中，故必1212a a b b -<-这就是说，结论④也是正确的.既然结论①③④正确，故选B.请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？（7）数形结合【题7】（北京西城.5月考，5题）双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（ ）（A （B （C ）2（D ）3【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系 【解析】如图，圆C 的圆心为C （0,2）,且半径r=1.双曲线的渐近线:bl y x a=切圆C 于点A,则△AOC 是含30•角的 直角三角形，60,tan 60bAOx a∴∠=︒=︒=于是22232c a e a-∴=⇒=，选C. （8）三角代换【题8】（2007.重庆卷，22题）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3，0），右准线l 的方程为：x = 12。

（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ， 使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明||1||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.图6xyOFP 1P 2P 3l图8-2正确的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有3个相等的角 度，应不失时机地引入三角知识.【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 122222212,12336,27a a b a c c ⇒=∴=⨯==-=.故椭圆方程为：2213627x y +=，其离心率12e =. 如图8-2设()()()111222333,,,,,P x y P x y P x y 为椭圆上符合条件的三点，令112233,,FP r FP r FP r ===.作P 1H 1⊥l 于H 1，令111PH d =，设∠P 1Fx=θ则∠P 2Fx=θ+120°∠P 3Fx= 120°-θ.于是()111122r ed x ==-，而1111193c o s ,29c o s 2c o sx r r r r θθθ=+∴=-⇒=+.同理：2399,2cos(120)2cos(120)r r θθ==+︒++︒-.于是()()()12311112cos 2cos(120)2cos(120)||||||9FP FP FP θθθ++=+++︒+++︒-⎡⎤⎣⎦ []126cos 2cos120cos 93θθ=++︒=，故为定值. 【评注】如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁（9）命题转换【题10】（湖北重点学校4月考，19题）椭圆的两焦点坐标分别为())12,F F ,且椭圆过点12⎫-⎪⎭.（1）求椭圆的方程； （2）过点6,05l ⎛⎫- ⎪⎝⎭作直线交该椭圆于M,N 两点（直线l 不与x 轴重合），A 为椭圆的左顶点，求证;2MAN π∠=.【分析】（1）问，简单；（2）问，点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭的横坐标为分数，显然会给以下的计算带来不小的麻烦.所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数.【解析】（1）由条件知椭圆半焦距c =12P ⎫-⎪⎭点在椭圆上， xyOFlP x y 111(,)P x y 222(,)P x y 333(,)120°θH 1()1211171222222a PF PF ⎛⎫∴=+==+= ⎪⎝⎭ 221,14x b y =+=于是所求椭圆方程为（2）将所求椭圆的长，短轴各自扩大5倍，根据相似原理，原命题等价于：过()6,0Q -点作直线l 交椭圆22110025x y +=于M,N 两点（直线l 不与x 轴重合），A 为椭圆的左顶点，求证;2MAN π∠=.设所求直线：()6y k x =+，代入224100x y +=：()()22222224123610014481441000x k x x k x k x k +++=⇒+++-=于是2212122248144100,1414k k x x x x k k -+=-⋅=-++.∵()()()221212121266636y y kx x kx x x x =++=⋅+++⎡⎤⎣⎦()()()112212121210,10,10100AM AN x y x y x x x x y y ∴⋅=++=⋅++++()()()2221212110610036k x x k x x k =+⋅+++++()()()2222222114410048106100361414k k k k k k k +-+=-++++()()()4242242114444100288480100436144014k k k k k k k⎡⎤=+--++++=⎣⎦+ 这就证明了：2MAN π∠=.（10）先猜后证【题11】（湖北华师一附中.2010 .5月考.19题） 以12(0,1),(0,1)F F -为焦点的椭圆C过点P (2，1)．(Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)过点S (13-，0)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】本题难点在第(Ⅱ)问.考察曲线是否通过定点，用一般方法很难发现，所以先考察特殊图形，推测出可能的结果，而后再加证明.xyOA 100(-,)Q 60(-,)M x y (,)11N x y (,)22图9(Ⅰ) 解法一（定义法）：设椭圆方程为22221y x a b+=(0)a b >>，由已知1c =。