博文教育讲义课题：简化解析几何运算方法教学目标：提高学生简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结 教学重点：简化运算方法归纳 教学难点：有关的规律总结与运用 教学过程：解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出较高要求。

其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。

1.回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。

许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。

例1 过椭圆左焦点倾斜角为60的直线交椭圆于点B A ,且FB FA 2=，则此椭圆离心率为._____解析 本题的常规解法是：联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(3,12222c x y b y a x 再结合条件FB FA 2=求解，运算量大，作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解：)2(31)(31B B A A B B A A B B FM '+'='-'+'=(31e AF +=另一方面，在F C B Rt '∆中C F BF C BF '=⇒='∠260, 故.2BFe BF M C C F FM +='+'=于是 =+)2(31e BF e AF 2BF e BF FM +=， 又FB FA 2=，所以可得.32=e练习：设12F F ，是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220.OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率是（ ） 21A C D【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2=,OP OF OQ +2OQ F P ∴⊥2OQ F P 且必过的中点.可知12PF F ∆为直角三角形.这就为用定义法求离心率创造了条件.【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令)21=,3,21PF r PF r a r =∴=则，1290,F PF ∠=︒但是x yP OF 1F 2QM)222221212,4 1.PF PF F F r r∴+=+==即，得于是1ca ea====，选D2．活用几何性质解决解析几何的运算问题，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，运算能力稍差的同学难以准确迅速求解，甚至半途而废；若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用有关几何性质来解决问题，常常可以峰回路转，收简捷巧妙解题之效果.例2 已知点P到两定点)0,1(),0,1(NM-的距离比为2，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。

解析本题若按常规做法为：设),(baP，则PM的方程为)1(1++=xaby，即0)1(=++-byabx，于是.31)1(2122baabbNH±=+⇒++==①又8)3()1()1(2222222=+-⇒+-++==bababaPNPM②将①代入②可得2a=±1).b=±于是.11±=-=abkPN因此直线PN的方程为).1(-±=xy若能进一步观察题设条件：如图3，在MNHRt∆中斜边2=MN，直角边1=NH 可得30=∠HMN，在PMN∆中由正弦定理得PMNPNPNMPM∠=∠sinsin.135452230sinsin或=∠⇒==∠⇒PNMPNPMPNM于是.1tan±=∠=PNMkPN因此直线PN的方程为).1(-±=xy评注：本题为02年全国高考文科第21题，分值为14分，重点考查学生通过联立①②消参解方程组的运算能力，对文科学生的运算能力提出了较高的要求；通过上述通法与巧法对比，读者容易看出：运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题，可以有效地避免复杂的解几运算，以达简捷解题之目的。

练习：过圆C：22200(,)x y R M x y+=内一定点作一动直线交圆C于两点P、R，过坐标原点O作直线ON ⊥PM于点N，过点P的切线交直线ON于点Q，则OM OQ⋅= 。

【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积容易想到直角三角形中成比例的线段.【解析】如图4,连OP,则OP⊥PQ.但是OQ ⊥PR于N,根据直角三角形的射影性质有：22OQ ON OP R⋅==∴2cosOM OQ OQ OM OQ ON Rα⋅=⋅⋅=⋅=即2OM OQ R⋅=.3图图3xyORQNα3．数形结合对于某些几何特征比较明显的问题，常可从分析图形本身所固有的几何特征入手，或从运动变化的观点来分析考察图形中某些量的变化规律，往往可简捷获解。

例3、 B ,A 是已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上的两点，线段AB 垂直平分线与x 轴交于点()00,x P ，求证：ab a x a b a 22022-<<--简析 着眼于寻求“线段AB()2220r y x x =+-()PA r =（如图10）①，它与椭圆12222=+b y a x ②有四个不同交点（或3个， 当B A 、之一为长轴端点时），由①②消去y 得()xx a x b a022222--22b a +-020222=+x a r a ③，方程③有两个不同实根，则2202212ba x a x x -=+，即2212220x x a b a x +⋅-=。

a x x a <+<-221，又0>>b a ，∴a b a x a b a 22022-<<--.练习： 设点)29,0(P ，动点B A ,在椭圆191822=+y x 上且满足PB PA λ=，试求λ的取值范围。

解析 本题简捷的解法是从数形结合的角度用运动变化的观点进行考察：如图11所示，三点B A P ,,共线，当)3,0(),3,0(-B A 时51=λ为最小；将直线PA 绕点P 逆时针旋转至相切（B A ,重合）有1=λ；回转至)3,0(),3,0(B A -有5=λ为最大，故有5,51[∈λ4．巧设参数例题4：过抛物线x y =2上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值． 证明：（参数法）∵两点B, C 均在抛物线y²=x 上。

∴可设其坐标为：B(b²,b) C(c²,c)∴可得两条直线的斜率为Kab=1/(b+2). Kac=1/(c+2) 由题设可知：直线AB 与直线AC 的斜率是互为相反数 ∴[1/(b+2)]+[1/(c+2)]=0通分，整理可得：[(b+c)+4]/[(b+2)(c+2)]=0 ∴必有(b+c)=-4又直线BC 的斜率Kbc=1/(b+c)=-1/4 ∴直线BC 的斜率为定值-1/4 例5、已知),(y x P 是椭圆12514422=+y x 上的点,试求y x +的取值范围?解:设椭圆的参数方程[))20(sin 5cos 12πθθθθ，，y x ∈⎩⎨⎧==且是参数 )sin 135cos 1312(13sin 5cos 12θθθθ+=+=+∴y x ）（其中135cos ,1312sin )sin cos cos (sin 13==+=ααθαθα)sin(13θα+=1)sin(1≤+≤-θα y x +∴的取值范围为)13,13(-5．利用设而不求,整体代换例6：B ,A 是已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上的两点，线段AB 垂直平分线与x 轴交于点()00,x P ，求证：ab a x a b a 22022-<<--解设),(11y x A ，),(22y x B ，AB 的中点为),(y x M ''，则1221221=+b ya x ，1222222=+by a x ，二式相减得 ⇒=-+-02222122221b y y a x x =l k 2121y y x x ---)()(212212x x b y y a ++-=x b y a ''-=22， 则直线L 的方程为='-y y ).(22x x x b y a '-''-令0=y 得.2220x a b a x '-=又a x a <'<-，所以a b a x a b a 22022-<<--。

例7、椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ，O 是原点，若OP 、OQ 斜率之积为41-。

（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值。

（2）求PQ 的中点M 的轨迹方程。

解：（1）设P 、Q 的两点坐标分别为()11,y x P 、Q ()22,y x ,P 、Q 分别在椭圆上，且41-=⋅OQ OP K K ，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅=+=+∴.41,1416,1416221122222121x y x y y x y x ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧------=------=------=⇒3.42,1641,164212122222121x x y y x y x y ()()21⨯得()()4,1616162221222122221-----++-=x x x x y y（3）代入（4）得162221=+x x ，（1）+（2）得()441822212221=+-=+x x y y 22OQ OP +∴2022222121=+++=y x y x 。

（2）设P 、Q 的中点M 的坐标为M ()y x ,，则有x x x 221=+，y y y 221=+， （1）+（2）+（3）2⨯得()221222124y y y y ++()212221232x x x x ++-=，()()221221324x x y y +-=+∴。

3216422=+∴y x 即：12822=+y x ，PQ ∴中点M 的轨迹方程为12822=+y x 练习1：已知直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 ( )A.6x －5y －28=0B.6x +5y －28=0C.5x +6y －28=0D.5x －6y －28=0【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN 的重心，容易求出边MN 的中点 坐标，那么求直线l 的方程，关键在求该直线的斜率.若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是：【解析】由2222458012016x y x y +=⇒+=.∴椭圆上顶点 B （0，4）,右焦点F （2,0）.为△BMN 的重心，故线段MN 的中点为C （3，-2）.设直线l 的斜率为k.，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，∴2211222245804580x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩ ()()()()121212121212121244664505545y y x x x x x x y y y y k x x y y -+-++-+=⇒==-⋅=-⋅=-+-所求直线方程为()623652805y x x y +=-⇒--=，选A. 练习2、 已知直线y ax --=10与双曲线3122x y -=相交于A 、B 两点，问a 取何值时，以AB 为直径的圆经过原点。