第4讲 VNM 效用函数与风险升水4.1 课后习题详解1．（单项选择）一个消费者的效用函数为，则他的绝对风险规避系数为：（A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C【解析】由消费者的效用函数，可得，，则可得该消费者的风险规避系数为：。

2．证明：若一个人的绝对风险规避系数为常数，则其效用函数形式必为，这里代表财产水平。

证明：这是一个求积分的问题，即由绝对风险规避系数来倒求效用函数。

根据绝对风险规避系数的定义，就有：对等式（1）最后一个等号两边积分得：即：。

进一步整理得：①()bwu w ae c −=−+a a b +b c ()bwu w aec −=−+()bw u'w abe −=()2bwu w ab e −''=−()()()2bwa bwab e R w u w w b abe −−−=−"'=−=c ()cwu w e −=−w ()()()a u w R w c u w "=−='()()d d u w w c w u w "=−⎰⎰'()ln u w cw C '=−+()cw C cw u w e Ce −+−'==其中，对①式两边积分得：其中为任意实数。

根据效用函数的单调递增特性可知（因为如果，就说明财富越少，消费者的效用就越高，这不符合正常的情况）。

又因为效用函数的单调变换不改变它所代表的偏好，所以表示的偏好也可以用表示。

3．若一个人的效用函数为，证明：其绝对风险规避系数是财富的严格增函数。

证明：由效用函数，可得，，则该消费者的绝对风险规避系数为：其中。

因此，当时： 即绝对风险规避系数是财富的严格增函数。

4．设一种彩票赢得900元的概率为0.2，而获得100元的概率为0.8。

计算该彩票的期望收入。

若一个人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，请写出这个人的效用函数形式。

（形式不唯一）。

答：（1）用表示风险收入，那么该风险收入的期望值为：（元）（2）如果此人对该彩票的出价超过彩票的期望收入，说明他是风险喜好者（如图4-10C C e =>()1cwC u w e C c−=−+1C 0c >0c <()1cwC u w e C c−=−+()cw u w e −=−2u w aw =−()2u w w aw =−()12u'w w α=−()2u w α''=−()()()212a u w R w u w wαα"=−='−12w α≠12w α≠()()()22d 20d 12a R w w w αα=>−w ()0.29000.8100260E w =⨯+⨯=所示）。

一个可能的效用函数是。

图4-1 风险爱好者的效用函数5．证明：在下列效用函数中，哪些显示出递减的风险规避行为： （1）； （2）；（3）； （4）。

答：递减的风险规避行为是指随着消费者财富的增加，他的风险厌恶程度会逐渐减弱，也就是说他的绝对风险规避系数关于财富数量是递减的。

（1）因为，所以，关于财富求导得：因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。

（2）因为，，所以，这就意味着，因此该效用2u w =()()0,01u w w βααβ=+≥<<，()u w w =()()ln 0u w w αα=+≥，()3u w w =()()()()()121u w w u w w βββαββα−−'=+"=−+，()()()()21111a w R w w w w ββββαββααβα−−−+−−=−=−=+++()a R w w ()()()210a R w w βα−−'=<+()1u w '=()0u w "=()0a R w =()0a R w '≡函数不显示出递减的风险规避行为。

（3）因为，，所以，关于财富求导得：因此，该效用函数显示出递减的风险规避行为。

（4）因为，，所以，关于财富求导得： 因此，该效用函数不显示出递减的风险规避行为。

6．一个具有VNM 效用函数的人拥有160000单位的初始财产，但他面临火灾风险：一种发生概率为5%的火灾会使其损失70000；另一种发生概率为5%的火灾会使其损失120000。

他的效用函数形式是。

若他买保险，保险公司要求他自己承担前7620单位的损失（若火灾发生）。

什么是这个投保人愿支付的最高保险金？解：用表示保费，那么投保人购买保险的期望效用为：投保人不购买保险的期望效用为：当投保人支付最高保险金时，他对买保险与不买保险的期望效用相同，即：从而解得，故此投保人愿支付的最高保险金为11013。

7．考虑下列赌局：()1u w w α'=+()()21u w w α"=−+()1a R w w α=+()a R w w ()()210a R w w α'=−<+()23u w w '=()6u w w "=()2a R w w=−()a R w w ()220a R w w '=>()w u w R 0.91600000.116000076200.91600000.1152380R R R R −−−=−−0.91600000.05160000700000.05160000120000385−−0.91600000.1152380385R R −−=11013R ≈表4-1 不同概率分布的赌局上表内，矩阵中的数字代表每一种结果的发生概率（比如，在赌局1中，发生10000元的概率为0.1）。

如果有人告诉你，他在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1”，在赌局“3”与“4”之间严格偏好于“3”。

请问他的选择一致吗？请做出说明。

答：赌徒的选择不一致。

理由如下：由于该赌徒在赌局“1”与“2”之间严格偏好于“1”，这就说明赌局“1”可以带给他更大的效用，即：整理上式得：（1）由于该赌徒在赌局“3”与“4”之间严格偏好于“3”，这就说明赌局“3”可以带给他更大的效用，即：整理上式得：（2）对比（1）式和（2）式，就可以知道赌徒的选择不一致。

()()()()()0.1100000.910000.2100000.610000.20u u u u u +>++()()()1000031000200u u u −+<()()()()()()0.02100000.0610000.9200.01100000.0910000.900u u u u u u ++>++()()()1000031000200u u u −+>8．两匹马A 与B 赛跑。

李某对该赛马打赌。

马A 与B 之间，或A 赢，或B 赢，无平局。

李某按下列偏好序对打赌进行排序：（1）他在A 上下赌注2元，若A 赢了，则会获得元；若A 输了，则分文无收； （2）不赌；（3）他在B 上下赌注2元，若B 赢了，他会获得元；若B 输了，则分文无收。

根据上述排列顺序能得出结论说，李某相信A 获胜的概率大于吗？如果李某是风险规避的，可以知道 的值吗？解：（1）根据上述排列顺序可以得出结论：李某相信A 获胜的概率大于。

理由如下：设A 获胜的概率，B 获胜的概率，因为李某对（1）、（2）、（3）三种情况的偏好顺序为：（1）（2）（3），所以（1）、（2）、（3）三种情况带给李某的期望效用也是递减的，即：整理上述不等式，就有：①根据以及效用函数单增的特性，可知：这样①式就意味着，再结合，就有。

（2）如果李某是风险规避的，可以知道的值。

理由如下：由于李某是风险规避的，所以财富的期望值带给他的效用会高于效用的期望值，即：②x x A P 12P x ⋅P 12A PB P ()()()()()()()00000212212A A B B P u w x P u w u w P u w x P u w −++−−>>−++−−()()()00220A B P P u w x u w −−+−−>⎡⎤⎣⎦0022w x w −+>−()()00220u w x u w −+−−>A B P P >1A B P P +=12A P >P x ⋅()()()()()()0000212212A A A A u P w x P w P u w x P u w −++−−>−++−−⎡⎤⎣⎦又因为李某偏好于情况（1）甚于情况（2），这就是说：③由②③两式可知：根据效用函数单增的特性，可知：整理得：。

9．一个消费者具有VNM 效用函数，他面临四种结局：A 、B 、C 、D 。

其偏好序为A B C D 。

试验显示，他认为，（这里的等号表示“无差异”）。

请对A 、B 、C 、D 四种结局构造出一组VNM 效用值。

答：用、、、分别表示A 、B 、C 、D 四种结局带给消费者的效用，则就意味着：①就意味着：②由于：③把①、②两式代入③式中就会发现：只要，那么①、②两式就和③式相容，因此对任意的，对这四种结局可以构造如下效用函数：()()()()000212A A P u w x P u w u w −++−−>()()()()000212A A u P w x P w u w −++−−>⎡⎤⎣⎦()()()000212A A P w x P w w −++−−>2A P x > 0.40.6B A D =+0.20.8C B D =+a b c d 0.40.6B A D=+0.40.6b a d =+0.20.8C B D =+0.20.80.080.92c b d a d =+=+a b c d >>>a d >a d >()()()() 0.40.6 0.080.92 u A a u B a d u C a d u D d ==+=+=10．近年来保险业在我国得到迅速发展，本题应用经济学原理分析为什么人们愿意购买保险。

假定有一户居民拥有财富10万元，包括一辆价值2万元的摩托车。

该户居民所住地区时常发生盗窃，因此有25%的可能性该户居民的摩托车被盗。

假定该户居民的效用函数为，其中表示财富价值。

（1）计算该户居民的效用期望值。

（2）如何根据效用函数判断该户居民是愿意避免风险，还是爱好风险？（3）如果居民支付一定数额的保险费则可以在摩托车被盗时从保险公司得到与摩托车价值相等的赔偿。

试计算该户居民最多愿意支付多少元的保险费？（4）在该保险费中“公平”的保险费（即该户居民的期望损失）是多少元？保险公司扣除“公平”的保险费后的纯收入是多少元？解：（1）该户居民的效用期望值为：（2）对于风险规避的行为人，其效用函数的二阶导数小于零，下面计算该居民的效用函数的二阶导数：因为，从而，，所以该户居民是风险规避的。