平新乔《微观经济学十八讲》答案目录第一讲偏好、效用与消费者的基本问题 (2)第二讲间接效用函数与支出函数 (9)第三讲价格变化对消费者配置效应与福利效应 (18)第四讲 VNM效用函数与风险升水 (25)第五讲风险规避、风险投资和跨期决策 (32)第六讲生产函数与规模报酬 (45)第七讲要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数 (57)第八讲完全竞争与垄断 (68)第九讲 Cournot均衡、Bertrand均衡与不完全竞争 (80)第十讲策略性博弈与纳什均衡 (93)第十一讲广延型博弈与反向归纳策略 (100)第十二讲子博弈与完美性 (105)第十三讲委托–代理理论初步 (110)第十四讲信息不对称、逆向选择与信号博弈 (118)第十五讲工资、寻找工作与劳动市场中的匹配 (125)第十六讲一般均衡与福利经济学的两个基本定理 (134)第十七讲外在性、科斯定理与公共品理论 (140)12221221111p ap p p ap ap p ayv p v q =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∂∂∂∂−=22222121221p ap y p p yp a ap p ayv p vq −=−−=∂∂∂∂−=与从直接效用函数中推得的结果一致．2. 某个消费者的效用函数是22121),(x x x x u =，商品1和2的价格分别是1p 和2p ，此消费者的收入为m ，求马歇尔效用函数和支出函数．解：解线性规划：y x p x p t s x x x x =+2211221,..max 21 其拉格朗日函数为：)(),;(221122121x p x p y x x x x L −−+=λλ使)(⋅L 最大化要求λ,,21x x 满足一阶条件021211=−=∂∂p x x x Lλ 102212=−=∂∂p x x Lλ 202211=−−=∂∂x p x p y Lλ 31式除以2式，得：2112211222p x p x p px x =⇒= 4 代4入3式，得1x 的需求函数：111132023p yx x p y =⇒=−5代5入4式，得2x 的需求函数：223p yx =6代5、6两式入效用函数中，得到当效用最大化时有间接效用函数：22122121332),(),(p yp y x x x x u y p v ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===又消费者效用最大化意味着()()y p v p e y ,,=即可得到支出函数：()()()3122131221223108)),(,(,u p p up p y y p v p e u p e ====3. 考虑下列间接效用函数()2121,,p p mm p p v +=这里m 表示收入，问：什么是该效用函数所对应的马歇尔需求函数),,(21*1m p p x 与),,(21*2m p p x 解iii ：根据罗尔恒等式，可以得到这个效用函数所对应的马歇尔需求函数：()2121221111p p m p p p p myv p vx +=++−−=∂∂∂∂−=()2121221121p p m p p p p myv p vx +=++−−=∂∂∂∂−=4. 考虑一退休老人，他有一份固定收入，想在北京、上海与广州三成事中选择居住地．假定他的选择决策只根据其效用函数，设该效用函数的形式为21x x u =，这里()221,+∈R x x ．已知北京的物价为()a a p p 21,，上海的物价为()b b p p 21,，并且b b a a p p p p 2121=，但ba b a p p p p 2211,≠≠．又知广州的物价为()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=b a b a c c p p p pp p 22112121,21,．若该退休老人是理智的，他会选择哪个城市去生活？iv解：设老人在北京、上海、广州的效用分别为c b a u u u ,,，设老人的收入为m ．有⎦⎤⎢⎣⎡−+=−+=−+c c b b a a c c b b a a cba p p p p p p m p p m p p m p p m u u u 2121212212212212211842442因为bbaap p p p 2121=，所以⎦⎤⎢⎣⎡−=−+c c a a c b a p p p p m u u u 212121142（*）又ba b a p p p p 2211,≠≠，有()()a a bb a a ba b a c c p p p p p p p p p p p p 2121212211211282=<++=（**）由*与**，得02<−+c ba u u u又bau u =，所以有0<−c a u u ，0<−cb u u即老人将选择在广州生活．1 5.5.1. 设21x x u =，这里()221,+∈R x x ，求与该效用函数想对应的支出函数()u p p e ,,21．解：解线性规划：u x x t s x p x p x x =+212211,..min 21其拉格朗日函数为：())(.,;21221121x x u x p x p x x L −++=λλ使)(⋅L 最大化要求λ,,21x x 满足一阶条件0211=−=∂∂x p x Lλ 10122=−=∂∂x p x Lλ 2021=−=∂∂x x u Lλ 31该题解答的修正得益于网友caidb 在中心论坛上的帖子．关于caidb 的个人信息在/forum/user_info.asp?id=121264上由1式、2式，得()u p p e ,,21λ12p x =，λ21p x =4代4入3，得u p p p p u 212210=⇒=−λλ 5代5入4，得212p p u x =，121p p u x =于是可以得到对应的支出函数()u p p x p x p u p p e 212211212,,=+=5.2. 又设21ln ln x x u +=′，同样()221,+∈R x x ，求与该效用函数想对应的支出函数()u p p e ′′,,21解：解法与5.1完全相同，得到()u e p p u p p e ′=′′21212,,5.3. 证明：()()u p p e u p p e ,,,,2121=′′证明：up p e p p e p p u u x x u x x u uu 21ln 21212121222ln ln ln ==⇒=′⇒⎭⎬⎫+=′=′根据5.1与5.2的结果，得到()()u p p e u p p e ,,,,2121=′′6. 设某消费者的间接效用函数为()αα−=12121,,p p m m p p v ，这里10<<α．什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？解：若消费束x 是消费者的最优选择，那么根据引理一，间接效用函数与支出函数存在以下关系()()m p v p e m ,,= 1由该消费者的间接效用函数，得到αα−=121p p u m ，其中),,(21m p p v u = 2由1式和2式，得到()()αα−=121,,p p u m p v p e因此，由Shepard 引理，得到12111−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∂∂=αp p u p ex h ，α⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∂∂=2122p p u p ex h7. 考虑含n 种商品的Cobb-Douglass 效用函数∏==ni i ix A x u 1)(α这里，0>A ，∑==ni i11α7.1. 求马歇尔需求函数解：解线性规划：ypx t s x A ni i xi=∏=..max 1α其拉格朗日函数为：()()px y x A x L ni i i −+=∏=λλα1;使)(⋅L 最大化要求λ,,21x x 满足一阶条件01=−=−=∂∂∏≠−j j j j j i i j j j p x u p x A x x L i j λαλααα，n j ,...,3,2,1= 10=−=∂∂px y Lλ 2由1式，得j jj p u x λα=，n j ,...,3,2,1= 3代3入2，得y uuy u y p u p y ni ni iii i =⇒=−=−=−∑∑==λλλαλα110 4代4入3，得希克斯需求函数j j j p yx α=，n j ,...,3,2,1=7.2. 求间接效用函数解：根据7.1的结果()iini iini iin i ii ni i i p Ay p Ay p y A x u y p v ααααααα∏∏∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∑=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===1111)(,其中x 为消费者的需求量．7.3. 计算支出函数（同第6题的解法．不过这样的写法可能会好些☺） 解：令ini i i p Ay y p v u αα∏=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==1),(得到in i iip A u y αα−=−∏⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11又由()),,(y p v p e y =，得到()ini ii p A u u p e αα∏=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11,7.4. 计算希克斯需求函数解：根据Shepard 引理和7.3的结果，得到希克斯需求函数∏≠−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∂∂=j i ii j j h j ij p p A u p e x ααα11，n j ,...,3,2,1=8. 以Cobb-Douglass 效用函数为例说明求解效用最大化问题和求解支出最小化问题可以得到同一需求函数．解：令效用函数形式为∏==ni i ix A x u 1)(α，预算约束为y px =************************************************************* 求解效用最大化问题得到的需求函数为（见7.1题）jj j p yx α=，n j ,...,3,2,1=************************************************************* 求解支出最小化问题的拉格朗日函数为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−′+=′∏=ni iix A u px x L 1;αλλ使)(⋅L 最大化要求λ′,x 满足一阶条件jjj p u x αλ′=1代入1=−∏=ni i i x A u α，得∏∏=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=′⇒=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′−ni iini i iiip A p u A u 1110αααλαλ 2代2入1得到希克斯需求函数：j j ni iijjh j pu p A p u x iαααλα∏=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=′=11，n j ,...,3,2,1= 3代∏==ni i ix A x u 1)(α入3得到∏=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ni j j i i i hj px p x i1ααα，n j ,...,3,2,1= 4代4入预算约束y px =得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏∑∏∑∏=====ii i n i i i in j j n i i i i nj j j n i i i i j x p x p p x p p y αααααααα11111 5代5入4得∏==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ni j jj j i i i h jpy p x p x i1αααα，n j ,...,3,2,1= 6由3式与6式知，求解支出最小化与效用最大化得到的需求函数是一样的． 9. 下列说法对吗？为什么？函数21)(),(u p u p x x x hj+=可以作为某种商品的希克斯需求函数． 答：不对．由于该需求函数仅与该商品的价格相关，因此可以令所有其它商品的消费量为零．根据Shepard 引理，支出函数是该希克斯需求函数的一个原函数． 又()()C u p dp u p x x x ++=+∫232132其中，无论C 取什么值，()Cu p x ++2332都不是x p 的一次齐次函数，因此该函数不可以作为某种商品的希克斯需求函数．10. 下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？()222,,y x x y x p p I p y p p x +=这里，x 与y 是两种商品，I 为收入． 答：假设该函数是一个马歇尔需求函数．由>∂∂Ix可知，x 是正常商品，它的需求量在任何情况下随收入上升而上升．又当x yp p >时，0>∂∂xp x，因此在x y p p >时，x 的需求量随价格上升而上升．综上所述，当x y p p >时，该商品的替代效应为正．而任何商品价格变化对该商品需求量所起的替代效应为非正．因此，该函数不是一个马歇尔需求函数．第五讲，第4题第一问，第二问基本上的图就是这样，A 点为将财富全部投入到风险投资时的状态，B 点为全部投入到安全资产时的状态，以这两点为端点的线段表示的就是投资者所有可能的资产组合． 第三问见第5题的解答．第五讲，第5题设投资者的效用函数为)(w u ． 设g w 为投资者在好的状态下的财富，b w 为坏状态下的财富．设投资者认为有P 的概率出现好的状态．设]1,0[∈λ为风险资产在投资组合中所占比例． 由题意知，投资者决定λ是以u 的最大化为标准．即：),(max arg *]1,0[λλλw u ∈∈7因此，λ必须满足0)·(=λd du *又7事实上，很明显这个集合里面至多只有一个元素．[][]*****)1)(1()1()1()1)(1()1()()1((),(w r w r u P w r w r Pu w u P w Pu w u g g b g +−++−++−++=−+=λλλλλ代入（*）得，krr r r P P dw w du dw w du g b b g =−−−−=·1)()( **现在证明dw w du dww du b g )()(是λ的单调函数．若0)(>′w u ，0)(<′′w u ***那么，如果有ijλλ>则有)]([)]([ig j g w u w u λλ>，)]([)]([i b j b w u w u λλ< 由假设（***）知，必然有dw w du dww du dww du dw w du i b i g j b j g )]([)]([)]([)]([λλλλ>（即为λ的单调递增函数）也就是说，等式（**）决定了唯一一个最优风险资本比例λ．如果k 值并不在dw w du dww du b g )()(的值域内，事实上就说明，投资者将选择纯风险投资，即1=λ，如果1=k ，那么，投资者将选择1=λ（这解答了第4题的第三问） 第一问设对财富按比例征税的税率为w t ，那么dw w du dw w du dww du t dw w du t dww du dw w du b g b w g w t b t g w w )()()()1()()1()()(,,=−−=，而仍然对应原有的风险资产比例λ，风险资产的比例不变． 第二问设对安全资产的收益按比例征税的税率为s t 那么krr r r P P rt t r r rt t r r P P dw w du dw w du g b s s g s s b t b t g s s =−−−−>++−++−−−=·1·1)()(,,所以，如果考虑对安全资产的征税，风险资产比例λ应该增加．这对只投资无风险资产的投资者的影响最大． 第三问设对安全资产的收益按比例征税的税率为s t ，对风险资产收益按比例征税的税率为r t ．那么ss r g r g ss r g r b t t b t t g rt t t r t r r rt t t r t r r P P dw w du dw w du r s r s ++−−−++−−−−−=·1)()(,,,, 结果是，如果0>++−−s s r g r rt t t r t ，那么最优风险资产比例λ应该上升，如果0<++−−s s r g r rt t t r t ，那么最优λ应当下降，0=++−−s s r g r rt t t r t 时，最优λ应当保持不变．请以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食数量所代表的布的价格，作出该村布的供给曲线．两张图的连线都是假设的，它们可以有其他的（比如说平滑的）形状．对下面的生产函数。