7考虑一个不变弹性需求函数 ， ， ．
7.1求反需求函数
解： ．
7.2计算需求的价格弹性
解： ．
7.3 的值为多少时，称需求是无弹性的？
答：当 时，称需求是无弹性的．
7.4证明边际收入函数对反需求函数的比， ，独立于产出 ．
证明： ，因此
；
，与 无关．
8判断下述论断是否正确，并给出理由：
8.1如果需求曲线是一条直线，则直线上各点的需求价格弹性是一样的．
3.3请算出价格变化的收入效应．
解由3.1与3.2得，收入效应为 ．
4某个消费者的效用函数为 ．令 ， 与 分别表示商品1的价格、商品2的价格和收入．
4.1如果 ， ， ，现在 上升为2，求此消费者关于商品1的斯拉茨基替代效应和收入效应．
解：令 为商品1价格变化前的消费量， 为变化后的消费量．有：
， ．
判断：并不是所有直线上的弹性都是一样的．
理由：一类线性需求曲线可以由 ， ， 来表示，它的弹性
即，弹性 是价格 的函数，也就是说，这样的直线上需求价格弹性是随价格变化，不是一样的．
但考虑与 轴垂直的需求曲线 ，它的弹性就是不变的．
最后考虑与 轴水平的需求曲线，它们的弹性均为无穷大，无法比较．
[注]无穷大“之间”无法比较．
答：符合．如果要符合显示性偏好弱公理，因为
所以必然应当预测到
而后一个等式确实是成立的（ ），符合预测．因此他的行为符合显示性偏好的弱公理．
15设消费者的反需求函数为 ，这里 ， ．假定政府开征消费税（从价税），因此消费者支付的价格会从 上升到 （这里， 为税率）．证明：消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入．
令 为调整收入以保持购买力条件下，对商品1的消费量． 为为保持购买力对收入进行调整后得到的收入．有：
，
．
其中，斯拉茨基替代效应 为
，
收入效应 为
．
4.2请根据计算，验证恩格尔加总规则．
解：由4.1知
， ， ， ．
因此
，
恩格尔加总规则成立．
5（单项选择）当价格是（3，1）时，某个消费者选择的消费束是 ．在新的价格 下，他选择的消费束是 ，若此消费者的行为满足显示偏好的弱公里，那么必定有：
13令斯拉茨基公式中右端第一项 为 ， 叫做 与 的净替代效应．对于效用函数 ，证明：
证明：由 和预算约束 ，令 ，得到 、 的需求函数
，
由此可以得到间接效用函数
，其中
然后，根据本章引理一，得到
由Shepherd引理和 的定义，得到
，
因此， ．
14我们观察到，一个消费者在 ， 时，购买的 ， ；当价格为 ， 时，购买的 ， ．他的行为符合显示性偏好的弱公理吗？
证明：征税前消费者的消费者剩余为
，
征税后，消费者的剩余为
，
他们所损失的消费者剩余为
．
政府征税所获收入为
．
因此， ．和
即消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入．
16设一个消费者只消费两类商品，他在 元， 元时购买了 ， ．现在， 下降至8元， 上升至6元．问该消费者的生活水平在价格变动后提高了还是降低了？为什么？
9判断对错并简要说明理由：
和 是一个消费者消费的两种物品，我们说 是 的替代品，如果 ， 为 的价格．如果 是 的替代品，则 也是 的替代品．
答：按照替代品的定义，第一句正确．第二句错误．
用斯勒兹基恒等式来分析，记 为 对 的替代效应， 为收入，有
，
和 符号均为负，但每个式子中的收入效应是不确定的．因此 ，并不意味着 一定成立．
对．他关于 的需求为 ，其中 为收入， 为 的价格．从需求函数与 的价格 无关可以得到 ，由此可以得到 ．
12下面的说法对吗？为什么？
某个消费者将他的全部收入花在两种商品上，其中一种商品是吉芬商品．如果吉芬商品的价格上升，那么他对另外一种商品的需求必定下降．
对．如果吉芬商品价格上升，消费量增大，另一种商品的预算份额下降，在价格不变的前提下，需求必定下降．
平新乔《微观经济学十八讲》答案
EatingNoodles
第三讲
1证明， 与 不可能都是劣等品．
说明：如果仅仅要求偏好满足完备性与传递性假设，两个产品都是劣等品是可能的．
如果要求偏好满足局部非餍足性，那么两种商品都是劣等品是不可能的（存在一个局部厌足点 ）．
2如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？
答：不是．对不同相对价格水平来说，替代效应可能为零．
[注]我原来的解答是错的．只有替代效应是相互的．
10以需求函数 为例，试分析为什么在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生最大利润．
分析：该需求的弹性表达式为
，
需求曲线缺乏弹性时，有
．
经营的总收益为 ，
考虑企业的成本函数 ，其中 ， ，
企业的利润函数为 ．
最大利润产生在利润对价格一阶导等于零的地方：
．
3已知一个消费者对牛奶的需求函数为
，
这里 为一周内牛奶的消费量， 元为收入， 元/桶，现在假定牛奶价格从3元降为 元．
问：
3.1该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？（即其牛奶消费会变化多少？）
解： ， ．
所以需求的变化量
桶．
3.2请算出价格变化的替代效应．
这里的替代效应指斯勒茨基替代效应．
，
，
因此，价格变化的替代效应 ．
答：因为价格变化前后，消费者都能买到 和 （购买力不变），也就是说，他至少会和价格变化前一样好．
[注]没有更多关于消费者偏好的信息，因此无法得到他会变得更好的结论．
（1） 是个正常商品（2） 是个劣等商品（3） 是个劣等商品（4）由于商品的相对价格没有变，小李的行为是非理性的
解：选择1．相对价格不变，购买力（或实际收入）的减少带来 消费量的减少，即可断定 收入效应为正，根据定义可知 是正常商品．由前一句可知2是错的． 的消费量与收入变化无关，可以知道 不是劣等商品，因此3是错的．1的判断完全基于理性假设进行的，因此4是错的．
（1） （2） （3） （4）
解：选择1．如果该消费者的行为满足显示偏好弱公理，那么必然有
，
即
6（单项选择）1997年，小李将他的全部收入用在两种商品 和 上．与1997年相比，1998年商品 和 的价格都上升了8%，1998年小李消费的 和1997年一样多，但他消费的 却比1997年少．我们可以断定：
8.2如果对 的需求是由 的价格、 的价格和收入决定的，则当 的价格、 的价格和收入都上涨一倍时式 ，其中 、 和 分别为 、 的价格和收入．在这样的预算约束和一定的偏好下，消费者将选择一定的 和 的消费量．消费者的选择变化无非基于两个条件的变化，这两个条件就是选择集－预算约束和偏好．当 的价格、 的价格和收入都上涨一倍时，其预算约束为 ，它与 表示的是同样的选择集，在偏好不变的情况下（这是“如果对 的需求是由 的价格、 的价格和收入决定的”的含义），消费者的选择将不会发生变化，也就是说，对 的需求不变．
因此在需求曲线缺乏弹性的部分，经营不可能产生最大利润．
11判断对错并简要说明理由：
11.1如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯拉茨基替代效应必定是负的．
错．考虑完全互补偏好，相对价格变化的斯拉茨基替代效应为零．
11.2假设某消费者的效用函数是 ，则他关于 的需求对 价格的交叉价格弹性为零．