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第三章 第七节
x(k+1) -x*= B( x(k) -x* ) , x(k+1) –x(k)= B( x(k) –x(k-1) )
从而
||x(k+1) -x(k)|| =||( x(k+1) -x*)-( x(k) -x*)||
|| x(k) -x* ||-|| x(k+1) -x*|| 故
[( B )]k = (B k ) ||B k ||<1，
B )=inf {|| B || }，存在 >0 使
|| B || ( B )+ <1， 又 || B k || ||B ||k ，
故
lim B k =0。
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三 迭代法的收敛速度
第三章 第七节
定理 2 若 ||B ||<1，则迭代格式
|| x(k) x || 1 || x(k1) x(k) || || B || || x(k) x(k1) ||
1 || B ||
1 || B ||
|| x(k) x || || B || || x(k) x(k1) || || B ||k || x(1) x(0) ||
1 || B ||
1 || B ||
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其中 B N 1P ; f N 1b
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第三章 第七节
据此，我们便可以建立迭代公式 xk1 Bx f k 0,1,2
我们称此迭代公式中的B 为迭代矩阵
二 迭代法的收敛性
定理1
1） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 lim B k =O；
2） 迭代格式 x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ( B )<1。
x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 ，且
|| x(k) x || || B || || x(k) x(k1) || 1 || B ||
|| x(k) x || || B ||k || x(1) x(0) || 1 || B ||
证 因 ( B ) || B||< 1，所以迭代收敛。
设 lim x (k) =x*，由 x(k+1) = Bx(k) + f ， 得 x* = Bx* + f ，则
第三章 第七节
第七节 迭代法及其收敛性
一 迭代法的一般格式
所谓迭代法就是对任意给定初始近似 x0 , 按某种 规则逐次生成序列 x0, x1, x2 xk ,
使极限
lim xk x
k
为方程组Ax=b 的解，即 Ax b
矩阵A 分解成矩阵N 和P 之差 A=N-P 其中N为非
奇异矩阵，于是方程组 Ax=b 便可以表示成 Nx=Px+b 即 x N 1Px N 1b Bx f
证 1）设 lim x (k) =x*， 则 x* = Bx* + f ,
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第三章 第七节
x (k+1) -x*= B( x (k) -x*)， x (k) -x*= B k( x (0) -x*) ， 故 lim x (k) =x* lim B k =O；
2） 存在 k ，使 || B k || <1，