k
x* Mx* g 由迭代公式有 M (x
k k
x ( k ) x* Mx ( k 1) g Mx* g
( k 1)
x ) M (x
* 2 * k
( k 2) (k )
x ) M (x
* k
(0)
x )
*
于是有 lim M ( x
1 1 例：Ax b, A 2 1 2
1 2 1 1 讨论用三种迭代法求解的收敛性。 2 1 1 2 解：因A为对称且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩 1 2 阵。由判别条件3，Gauss-Seidel迭代法与松弛法(0 2) 均收敛。A不是弱对角占优阵，故不能用条件1判断。 0 1 -1 Jacobi迭代法的迭代矩阵为B I - D A 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0

1,
1,由推论1无法判别收敛性。
对一些特殊的系数矩阵可给出几个常用的判 别收敛条件
设有线性方程组Ax b, 下列结论成立（收敛充分条件） 1.若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。 2.若A为严格对角占优阵， 0 1, 则松弛法收敛。 3.若A为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为 0 2。 10 1 2 2 1 0 B 1 2 1 上两例中： A 1 10 2 1 1 5 0 1 2 A为严格对角占优阵，故Jacobi与Gauss-Seidel迭 代均收敛。B为非严格对角占优阵，但为对称正定 阵， =1.4故松弛法收敛。
推论1 对任意初始向量x 和右端项g，若 M 1,由迭代
(0)
格式
x ( k 1) Mx ( k ) g
( k 0,1, 2, )

产生的向量序列{x ( k ) }收敛.
推论2 松弛法收敛的必要条件是0 2。
迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向 量及右端项无关。对同一方程组，由于不同的迭代法迭代 矩阵不同，可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。
Jacobi迭代法的迭代矩阵为
0 2 1 B I D A 1 0 2 2 2 1 0

其特征方程为
2
I B 1
2

2
2 1 3 0

因此有1 2 3 0, 于是 ( B ) 0 1, 所以Jacobi迭代法收敛。
x1 2 x2 2 x3 1 例：对方程组 x1 x2 x3 2 2 x 2 x x 3 2 3 1 讨论Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
解：求迭代矩阵判别其谱半径是否小于1。 1 A 1 2 0 L 1 2 2 2 1 1 2 1 0 0 0 0 2 0 1 D 0 0 0 U 0 0 0 0 1 0 0 1 2 2 0 1 0 0
(0)
x ) lim( x
x )0
*
因为x (0)为任意n维向量,因此上式成立必须 由定理 (M ) 1.
lim M k 0
k
充分性:若 ( M ) 1, 则 1不是M 的特征值,因而有 det( I M ) 0, 于是对任意n维向量g , 方程组 I M x g 有唯一解,记为x* , 即 并且 又因为 lim M k 0
1.迭代法的收敛条件
定理：对任意初始向量x (0)和常数项g，由迭代格式 x ( k 1) Mx ( k ) g ( k 0,1, 2, ) 产生的向量序列{x ( k ) }收敛的充要条件是 (M ) 1.
证:必要性: 设存在n维向量x* , 使得 lim x ( k ) x*，则x*满足
1
特征方程 I M 0 2 3 ( 2) 2 0 0 0 2
特征值为1 0, 2 3 2, 故 ( M ) 2 1, 所以迭代发散。
上例说明了 0 2确实只是松弛法收敛的 必要条件，而非充要条件，因为Gauss-Seidel 迭代记为 1的情形。 判断定理虽然给出了判别迭代收敛的充要条 件，但要求逆矩阵和特征值。推论1与2仅分别 给出了收敛的充分与必要条件，许多情形下不 能起作用。如上例，两个方法均有 B M
k
x* Mx* g
x ( k ) x* M ( x ( k 1) x* ) M k ( x (0) x* ) lim (x ( k ) x* ) lim M k ( x (0) x* )=0
k k
所以,对任意初始向量x (0) , 都有 即由迭代公式x ( k 1) Mx ( k ) g 产生的向量序列{x ( k ) }收敛.
Gauss-Seidel迭代，M (D L) U ,由
1 0 0 DL 1 1 0 2 2 1 1 0 1 M ( D L ) U 1 1 0 2 1 0 0 ( D L) 1 1 1 0 0 2 1 0 0 2 2 0 2 2 0 0 0 1 0 2 3 1 0 0 0 0 0 2 2 2