《概率论与数理统计》练习题8答案
考试时间：120分钟
题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分）
1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。
A 、0
B 、1
4 C 、18
D 、15
答案：D
2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。
A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容
B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立
C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容
D 、AB A B =⋅
答案：B
3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξϕ，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。
A 、
1y b a a ξϕ-⎛⎫ ⎪
⎝⎭ B 、1y b a a ξϕ-⎛⎫ ⎪⎝⎭ C 、1y b a a ξϕ--⎛⎫
⎪⎝⎭
D 、
1y b a a ξϕ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
答案：A
4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。
A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布，
D 、(,)ξη服从区域01
01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
上的均匀分布
答案：D
5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。
A 、(0, 1)N
B 、(1, 4)N -
C 、(1, 2)N -
D 、(1, 3)N - 答案：B
6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。
A 、1 B 、2
C 、0.5
D 、4
答案：B
7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。
A 、14D ξ=
B 、14
D ξ>
C 、1
4
D ξ<
D 、{}
15216
P E ξξ-<=
答案：D
8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及
2
2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21
S 及22
S ，则统计量2
122
S F S =服从F 分
布的自由度为( )。
A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++
D 、( 1, 1,)m n --
答案：A
9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。
A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定；
C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取；
D 、可以任意规定。
答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。
A 、1αβ+=
B 、1αβ+>
C 、1αβ+<
D 、2αβ+<
答案：D
二、填空（5小题，共10分）
1、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。
答案：72
2、试在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则在4次重复独立试验中。
事件A 至多有一次
不发生的概率是______________________。
答案：434(1)P P p +-
3、设ξ服从正态分布(1,4)N ，则1ηξ=-的分布密度()y ηϕ=____________。
答案：1
222
8π
e y
-
4、设ξ的概率密度为0
()00
x e x x x ϕ-⎧≥=⎨<⎩则(21)E ξ+=___________________。
答案：3
5、设两正态总体211(,)N μσ和2
22(,)N μσ有两组相互独立的样本，容量分别为1n ，2n ，均值为1X 及2X ，（无偏）样本方差为21S ,22S ，1μ及2μ未知，要对2212σσ=作假设检验，统计假设为22012:H σσ=，22112:H σσ<,则要用检验统计量为_________。
给定显著
水平α，则检验的拒绝域为____________。
答案：2212F S S =，12(0,(1, 1)]F n n α--
三、计算（5小题，共40分）
1、将一颗均匀的骰子掷两次，求至少一次出现4点的概率。
答案：2212511
()6636
P A ⨯=
+= 2、设随机变量ξ的概率密度为()()
2
11x x ϕπ=
+，求()2
0a a ηξ=>的概率密度。
答案：函数2y ax =在(,0),(0,)-∞+∞
上的反函数分别为x x ==对于0y η>的分布函数为
}{
{
()F y p y p ηηξ=≤=<≤=
(
)(
)0
x dx x dx ϕ=
当0y ≤时，()0F y η=
于是η的概率密度为()
n
0()0
0y y F y y ηψ>==≤⎩
3、一批产品共有50件，其中一等品30%，二等品50%，三等品20%，从这批产品中每
次抽取一件产品，有放回地抽取5次，求取出的5件产品中一等品，二等品件数的联合分布律。
答案：设ξ和η分别表示抽取的5件产品中一等品和二等品的件数
{}()()()()55!,0.30.50.2!!5!
m n m n
P m n m n m n ξη--===
⋅⋅--
(0,1,2,3,4,5;0,1,2,3,4,5;5)m n m n ==+≤
4、设随机变量
ξ
服从(0- 1)分布，其分布律为
(1),(0),(01,1)P p P q p p q ξξ====<<+=求,()E D ξξ。
答案：01E q p p ξ=⋅+⋅=
22()()()D E E E p ξξξξ=-=-
22(0)(1)()p q p p pq p q pq =-⋅+-⋅=+=
或01E q p p ξ=⋅+⋅=
22201E q p p ξ=⋅+⋅=
222()()(1)D E E p p p p pq ξξξ=-=-=-=
5、设某种灯泡的使用寿命服从参数λ的指数分布，今抽取20个灯泡测得使用寿命数据如下：(单位：小时)20,25,39,52,69,105,136,150,280,300,330,420,460,510,630,180,200,230,828,1150，求λ的最大似然估计量。
答案：按1
ˆX
λ
= 116106305.32020
n i i X x ====∑
11ˆ0.0033305.3
X λ
=== 四、应用（2小题，共20分）
1、一袋中装有3个红球5个白球，从袋中一个一个无放回地取球，共取了4次，用ξ表示取得红球的个数，求ξ的分布列。
答案：ξ的取值范围是0,1,2,3ξξξξ====
{}454851
07014c P c ξ====
{}13354
83103
1707c c P c ξ⨯⨯====
{}22354
8303
2707c c P c ξ⨯==== {}31354
851
37014
c c P c ξ⨯==== 即
2、有一大批混合种子，其中良种占1
6
，今在其中任选6000粒，试问在这些种子中，良种所占的比例与
1
6
之差小于1%的概率是多少？已知标准正态分布函数0,1F (x)的值：0,1F (2.078)=0.9812，0,1F (0.072)=0.5279，0,1F (0.72)=0.7642
答案：设6000粒中良种有ξ粒，则ξ服从16000,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
由德莫佛−拉普拉斯定理知
{}10.0110006060006P P ξξ⎧⎫-<=-<⎨⎬⎩
⎭P ⎧⎫⎪
=<
0,10,1F F ≈-⎝⎭⎝
⎭()0,10,1212 2.0781F F =-=-⎝⎭
=2⨯0.9812-1=0.9624。