已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他。
，；，，010104),(y x xy y x f则X 与Y 相互独立【解：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他。
，；，，010104),(y x xy y x f可得两个边缘密度函数分别为：⎩⎨⎧<<==⎰∞+∞-其他。
，；，0102),()(x x dy y x f x f X⎩⎨⎧<<==⎰∞+∞-其他。
，；，0102),()(y y dx y x f y f Y从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=，所以X 与Y 相互独立。
■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它，求(1) X 的边缘密度函数()X f x ; (2)概率()P Y X ≥;■13、某供电站供应该地区1000户居民的用电，各户用电相对独立，已知每户日用电量(单位:度)服从[6,12]上的均匀分布，求这1000户居民日用电量超过9100度的概率。
■14、在次品率为0.3的一大批产品中任取400件，利用中心极限定理计算取得的400件产品中次品数在110与125之间的概率。
■15、一大批种子的良种率为0.9，从中任取500粒，求良种数超过460粒的概率。
■12、【解：（1）当01x ≤≤时，1()(,)42,X f x f x y dy xydy x +∞-∞===⎰⎰故2,01()0,X x x f x others≤≤⎧=⎨⎩当01y ≤≤时，1()(,)42,Y f y f x y dx xydx y +∞-∞===⎰⎰故2,01()0,Y y y f y others ≤≤⎧=⎨⎩（2）因为(,)()()X Y f x y f x f y =故X 与Y 是相互独立（3）211000()440.52xx P X Y dx xydy xdx >===⎰⎰⎰ ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】■13、【解：设X i 为第i 户的日用电量，X 为总用电量。
则∑==10001i iXX 。
∵]12,6[~U X i ，∴312)()(,92)(22=-===+==a b X D b a X E i i σμ ∴E(X)=n μ=1000×9=9000, D(X)=n σ2=1000×3=3000, 由中心极限定理，近似有X ~N (9000,3000) ∴(1) (9100)11P X >≈-Φ=-Φ= (2) 设每天需供电u 度，则可列出等式99.0)30009000(99.0)(=-Φ⇒=≤u u X P ⇒ u = … 】 ■14、【解：设X 为次品数。
则)3.0,400(~B X ，因n 较大，所以又近似有),(~npq np N X ，即)84,120(~N X 。
∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<841018458412011084120125)125110(X P 】 ■15、【解：设X 为良种数。
则)9.0,500(~B X ，又近似有)45,450(~N X 。
良种率超过92%即良种数超过460，∴ =⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈>53101454504601)460(X P 】 已知总体)10,60(~2N X ，从总体X 中抽取一个容量为25的样本，则样本均值X 与总体均值之差的绝对值大于2的概率为：|60|(|60|2)(1)1(1)(1)2(1(1))2X P X P -->=>=-Φ+Φ-=-Φ= 0.3174．■5、设某零件的高度),(~2σμN X 现任取25只，x =32.3，s =0.41。
(1)若σ=0.4，求μ的置信水平为0.95的置信区间 (2)若σ未知，求μ的置信水平为0.95的置信区间 (3) σ2的置信水平为0.95的置信区间■6、某单位的日用水量X ~),(2σμN ，现抽查了16天的用水量，得样本均值为x =170度，样本标准差s =30度，试求μ的置信水平为0.9的置信区间。
■7、设某厂生产的钮扣直径),(~2σμN X ，σ =5.2。
现随机取一样本),,,(21n X X X ，n =36，测得56.26=x 。
试在0.05下检验其均值是否为26。
（即检验假设0H :260==μμ）■8、若上题中σ未知，条件中增加s =5，如何检验?■9、一批电子元件寿命X 服从正态分布),(2σμN ，原先均值16500==μμ。
现从刚生产的产品中随机抽取25个，测得寿命的样本均值为x =1691，样本标准差s=169。
以01.0=α的显著性水平检验整批元件平均寿命是否仍为1650。
■5、【解：(1) 因σ已知，构造样本函数 nX U /σμ-=，则U ~ N (0, 1)；10.95α-=，查标准正态分布表得2u α=1.96∴ μ的置信水平为0.95的置信区间为 (2x u α-,2x u α+)=(32.1432,32.4568)(2) 因σ未知，而s 已知，构造样本函数 ns X T /μ-=，则T ~ t (24)；10.95α-=，查表得0639.2)24(05.0==t t∴ μ的置信水平为0.95的置信区间为 (x t α-,x t α+)=(32.1308,32.4692) (3) 构造样本函数：222)1(σχS n -=，则χ2 ~ χ2 (n −1)；令P ( a < χ2< b ) = 0.95，得⎪⎩⎪⎨⎧====⇒⎪⎩⎪⎨⎧=>=>364.39)24(401.12)24(025.0)(975.0)(2025.02975.022χχχχb a b P a P 得到σ2的以1−α为置信度的置信区间为： (a S n b S n 22)1(,)1(--)=(0.1025,0.3253)】 ■6、【解：σ未知，而s 已知，构造样本函数 ns X T /μ-=，则T ~ t (15)；10.9α-=，查表得7531.1)15(1.0==t t∴ μ的置信水平为0.9的置信区间为((15)x t α-,x t α+)=(156.852,183.148)】■7、【解：H 0:260==μμ构造检验统计量nX U /0σμ-=，则H 0成立时应有U ~N (0,1)。
05.0=α，查标准正态分布表得2u α=1.96而实际统计量值646.06/2.52656.26/0=-=-=nx u σμ，满足|u |<1.96，所以接受原假设。
】 ■8、【解：H 0:260==μμ构造检验统计量ns X T /0μ-=，则H 0成立时应有T ~ t (35)。
05.0=α，查表得0.05(35) 2.03t =（表明|T | > 2.03为小概率事件）而实际统计量值672.06/52656.26/0=-=-=ns x t μ，满足| t | < 2.0301，所以接受假设。
】 ■9、【解：H 0:16500==μμ构造检验统计量ns X T /0μ-=，则H 0成立时应有T ~ t (24)。
05.0=α，查表得0.05(24) 2.797t =（表明|T | > 2.797为小概率事件）而实际统计量值847.25/7216501691/0=-=-=ns x t μ， | t | > 2.797，所以拒绝假设。
】已知一元线性回归直线方程为x a y4ˆˆ+=，且3=x ，6=y ， 则a ˆ的计算方法如下：由4ˆ=b 可 得6ˆˆ-=-=x b y a 。
例2 对四块面积都是1亩的土地，施用化肥x （公斤），得到的水稻产量y （公斤）的实验结果如下表。
请按下表求x （化肥量）与y （水稻产量）的线性回归方程，并用F 法进行检验。
33060090036000018000440700160049000028000∑10020003000110000057000，（1）（2）（3）∴线性回归方程为=150+14x。
（二）对进行显著性检验（1）（2）引进统计量（3）查F（1,n-2）表给定α=0.05，Fα（1，2）=18.5∴拒绝域W为（Fα（1，n-2）,+∞）=（18.5，+∞）（4）计算F（5）判定：∵F落在拒绝域W内；∴拒绝H0，接受H1。
即线性关系明显。