资产组合选择Harry Markowitz资产组合选择过程可以分为两个阶段。

第一个阶段是从观察和经验形成对可供出售的证券未来表现的信任，第二个阶段是从对未来表现的有关信任形成资产组合选择。

本文关注的是第二个阶段。

我们首先考虑投资者使用（或者应当使用）最大化折现期望或预期回报的准则，这一准则不足以作为立论的前提假设和引领投资者行为的最大化原则。

接下来，我们考虑投资者使用（或者应当使用）追求期望回报，回避回报方差的准则。

这一准则作为投资者行为最大化原则和前提假设具有许多优点。

我们用几何方法表示了信任和资产组合选择之间依照―期望回报——回报方差‖准则形成的关系。

资产组合选择的一种准则是投资者使用（或者应当使用）最大化未来回报的折现（或资本化）价值1。

既然未来是不可确定的，我们所折现的必然是―期望‖或―预期‖回报。

也可以讨论该种准则的变化后形式，我们按照Hicks 的方法，让―预期‖回报包含一个风险补偿2。

或者，我们可以让资本化特定证券回报的比率随着风险而变化。

投资者采取（或者应当采取）最大化折现回报的假设（或最大化原则）必须被抛弃。

如果我们忽略市场的不完善，前面的准则不能说明存在一个优于所有非分散化组合的分散化资产组合。

分散化既是可以观察到的，也是可以认识的，一个不能得出分散化优越性的行为准则不能作为前提假设和最大化原则。

上述准则不能说明分散化这个结果。

无论预期回报如何形成，无论是否对不同证券使用相同的或不同的折现率，也无论这些折现率是如何确定的或者如何随时间而变化3，假设必然得出投资者将他的所有资金投入到具有最大折现价值的证券上。

如果两个或多个证券具有同样的价值，那么其中的任何一个或者组合当中的任何一个都与其它的同样好。

我们能看到这样的分析：假设有N种证券，ri t为在t 时间投资于证券i 的每一美元的预期回报（不管其如何确定），di t为第i 个证券在时间t 内折现为现值的比率，Xi为投资于证券i 的相对数量。

我们排除卖空的可能，因此，对所有的i 有Xi≥0。

资产组合的折现预期回报为：是第i 个证券的折现回报，因此，，这里Ri独立于Xi。

因为对所有的i 有Xi≥0 并且，所以R 是以非负的Xi为权数的Ri的加权平均。

为了最大化R，我们对Ri最大的i 取Xi =1。

如果某些R a a，a=1，… ，K 最大，那么只要满足都可以最大化R。

无论如何分散化的资产组合不能优于所有的非分散化组合4。

这将方便去考察静态模型。

我们不说第i 个证券回报的时间序列（ri 1，ri 2，… ，rin，… ），而说第i 个证券的―回报流‖（ri ）。

资产组合整体的回报流是。

在动态情况下，如果投资者希望最大化资产组合―期望‖回报，他会将所有的资金投入具有最大期望回报的证券。

这有一个准则可以同时满足投资者应当分散化投资和应当最大化期望回报。

该准则是说投资者采用（或者应当采用）将其资金分散在所有提供最大期望回报的证券上面。

大数法则确保资产组合的真实收益几乎与期望收益相同5。

该法则是期望回报—回报方差准则（下面即将表述）的特例，它假设存在最大期望回报和最小方差的资产组合，这一组合正好适合投资者。

将大数法则用于资产组合的假设是不能接受的。

证券回报的关联性太强，分散化就不能抵消所有的方差。

具有最大期望回报的资产组合不一定具有最小方差。

存在一个投资者可以在控制方差来获得期望回报，或者在放弃期望回报来减少方差的率。

我们已经看到期望回报或预期回报准则是不合适的。

让我们考察期望回报-回报方差（E-V）准则。

首先，必须给出一些数理统计的基本概念和结果，接下来我们揭示E-V 准则的含义，随后我们讨论其合理性。

在我们的描述中我们力图避免复杂的数学表述和证明，严格而且一般性的术语需要花费一定的代价。

由此形成的主要局限有：（1）我们并非从分析n 种证券的情况，而是以几何方式分析3 到4 种证券得到结果；（2）我们假设静态的概率信念。

在一般情况下，我们必须认识到各种证券收益的概率分布是时间的函数。

作者力图在将来展示一般性的数学处理，以消除这些局限。

我们需要下列数理统计学的基本概念和结论。

Y 是随机变量，i.e,即其值是偶然性确定的变量。

为简化，设Y 可以取有限个值。

Y= y1的概率为p1，Y= y2的概率为p2等等。

Y 的期望值（均值）定义为：Y 的方差定义为：V是Y 的其期望值的平均平方偏差。

V 一般用于测度分散程度，其他与V有关的测度分散程度的是标准差和方差系数 。

假设我们有一列随机变量R1，R2，… ，Rn ，如果R 是Ri的加权和（线性组合）：那么R 也是随机变量。

（例如，R1为占1 个单位的数，R2为占另一个单位的数，R 为这些数的和。

在这种情况下，n = 2，a1 = a2 = 1）。

知道期望值和加权和（R）的方差与R1，R2，… ，Rn 的概率分布的关系对于我们来说非常重要。

下面我们给出这些关系，读者可参考标准教科书的证明6。

加权和的期望值是期望值的加权和。

即。

加权和的方差并不简单，为了表述它，我们必须定义―协方差‖。

R1和R2的协方差为：即R1与其均值的差乘以R2与其均值的差的期望值。

一般地，我们定义Ri和Rj 的协方差为：σi j可以用熟悉的相关系数（ρi j）来表示。

Ri和Rj的协方差等于它们的相关系数乘以Ri的标准差再乘以Rj的标准差。

加权和的方差为：如果我们运用Ri的方差为σi 的事实，那么Ri为第i 个证券的回报，μi为Ri的期望值；σi j为Ri和Rj的协方差（因此σi i 为Ri的方差），Xi为分配到第i 个证券上的投资者资产的比例。

资产组合整体的收益（R）为:将Ri（以及R）作为随机变量7，Xi不是随机变量，由投资者决定。

因为Xi是比例，我们有∑Xi=1。

在我们的分析中，我们将不排除Xi的负值（即卖空）的可能，因此对所有的i，Xi≥0。

资产组合整体的回报（R）是随机变量的加权和（投资者可以选择权数）。

从我们对加权和的讨论可以看出资产组合整体的期望回报E 是：方差是：对固定的主观概率（μi， σi j），投资者所选择E 和V 的各种组合决定于选择资产组合的X1，X2，… ，XN。

假设所有可行（E，V）组合集如图1 所示。

E-V 准则得出投资者将（或者应当）希望选择这些组合中最有效率的一个，也就是给定E 或者更大时V 最小，以及给定V 或更小时E 最大。

给定μi和σi j时，计算有效资产组合和有效（E，V）组合集的技术是存在的。

在这里我们不给出这些技术。

但是，我们用几何方法列举当N（可选证券数）较小时有效表面的性质。

有效表面的计算可能会有实际的用途。

或许存在着通过将统计技术和专家判断相结合形成合理的概率信任？（μi， σi j）的方法，我们将利用这些信任？计算可行的有效组合（E，V）。

投资者在被告知哪些（E，V）组合是可行的之后，能够声明他所希望获得的组合。

我们能够找到符合这种愿望组合的资产组合。

在按照上述方式将有效表面运用于实践时，必须至少满足两个条件。

首先，投资者必须依照E—V矩阵采取行动。

其次，我们必须达到合理的μi和σi j。

我们随后将回到这些主题上来。

让我们考虑三只证券的例子。

在三只证券的情况下，我们的模型减少为：（1）∑==31iiiX Eμ（2）j i i j ij X X V ∑∑===3131σ （3）∑==311i i X（4）0≥i X 对i=1,2,3从（3）我们得到3’） X3 = 1 – X1 – X2如果将（3’）代入（1）和（2），我们得到E 和V 的用X1 和 X2表示的函数形式。

例如，我们发现：1’） E = μ3 + X1（μ1- μ3 ）+ X2 （μ2- μ3 ）在这里，精确的公式并非十分重要（V 在下面给出）。

我们可以简化写做： a ） E = E （X1，X2）b ） V = V （X1，X2）c ） 01,0,02121≥--≥≥X X X X利用关系式（a ）、（b ）、（c ），我们用二维几何来表示。

资产组合可行集合由所有满足约束（c ）和（3’）（或等价地（3）和（4））的组合构成。

X1和X2的可行组合由图2 中的三角形acb 来表示。

X2轴左边的任何点都是不可行的，因为不满足01≥X 的条件。

X1轴下边的任何点都是不可行的，因为不满足02≥X 的条件。

直线（0121≥--X X ）上方的任何点都是不可行的，因为不满足01213≥--=X X X 的条件。

我们将给定期望回报时所有点（资产组合）构成的集合定义为―等均值‖线。

同样，将给定回报方差时所有点构成的集合定义为―等方差‖线。

考察 E 和V 的公式，我们知道等均值线和等方差线的形状。

具体而言，通常等均值线是一簇平行直线；等方差线是一簇同心椭圆（参见图2）。

例如，如果32μμ≠，方程1’可以写做熟悉的形式X2 = a + bX1，具体而言（1）是：132313232X E X μμμμμμμ-----=因此E = E0时，等均值线的斜率为-（μ1 - μ3）/（μ2 - μ3），截距为（E0 - μ3）/（μ2 - μ3）。

如果我们改变E ，截距会改变但是等均值线的斜率不会改变。

这就确定了等均值线构成一簇平行直线的结论。

同样地，通过简单地应用几何分析，我们也可以确定等方差线的形状构成是一簇同心椭圆。

曲线簇的―中心‖是最小化V 的点，我们将该点标记为X ，将它的期望回报和方差标记为E 和V 。

偏离X 越远时，方差会增加，更精确地讲，如果一条等方差线C1较另一条C2更接近X ，那么C1的方差就小于C2的方差。

利用前述几何工具，我们来求解有效集合。

等方差椭圆簇的中心X 可能落在可行集之内或之外。

图4 显示了一个X 落在可行集之内的例子，在这种情况下X 是有效的。

不存在V 小于X 的其它资产组合；因此不存在具有更小的V （E 相同或更大时）或者在V 相同或更小时具有更大的E 的资产组合。

不存在期望回报E 小于有效E 的点（组合），因为我们有E > E 和V < V 。

？考虑给定期望回报 E 的所有点，即所有在E 的等均值线上的点。

等均值线上V 取最小值的点是等均值线与一条等方差线相切的点，我们称该点为)(^E X 。

我们让E 变动，)(^E X 的轨迹构成一条曲线。

代数推导（我们在此略去）显示该曲线为一条直线，我们称之为临界线（critical line ）L 。

临界线通过X ，因为该点在所有满足E （X1，X2）= E 的点中使得 V 最小。

从X 沿着L 的任何方向，V 都将递增。

在临界线上从X 到临界线通过可行集边界点的线段构成有效集的一部分，有效集的其余部分（在所显示的情况下）是ab 直线上从d 到b 的线段。

b 是可行的E 最大的点。

在图3 中，X 位于可行域之外，但是临界线与可行域相交。